Campo De Barra

Ejercicio Ejemplo._
La carga positiva Q esta distribuida uniformemente a lo largo del eje positivo de las “y” entre
y=0 y y=a. Hay una carga puntual positiva +q sobre el eje positivo de las x, a unadistancia x
del origen. a) Calcule las componentes x y y del campo eléctrico producido por la distribución
de carga Q en puntos sobre el eje positivo de las x.
b) Calcule las componentes x y y de lafuerza que la distribución de carga Q ejerce sobre q.
‫݈݁ ݋݌݉ܽܿ ݈ܧ‬é‫ܽ݃ݎܽܿ ݈ܽ ݁ݎܾ݋ݏ ݋݀݊ܽݑݐܿܽ ݋ܿ݅ݎݐ‬:

Para determinar el campo eléctrico:
En términos de Diferenciales:

‫ݍ‬
‫ݎ‬ଶ

‫݇=ܧ‬
݀‫݇ = ܧ‬

݀‫ݍ‬‫ݎ‬ଶ

En una barra el diferencial de carga ݀‫ݕ݀ߣ = ݏ݀ߣ = ݍ‬:
݀‫݇ = ܧ‬
De la figura obtenemos:

ߣ݀‫ݕ‬
‫ݎ‬ଶ

‫ݔ‬
‫ݔ‬
=
‫ ݎ‬ඥ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ
‫ݕ‬
‫ݕ‬
sen ߠ = =
‫ ݎ‬ඥ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ
cos ߠ =

Empezamos calculandola componente en “y” del campo eléctrico:

Sustituyendo el ‫∶ ߠ݊݁ݏ‬

݀‫ܧ‬௬ = ݇ߣ
݀‫ܧ‬௬ = ݇ߣ

Integrando en ambos lados:
‫ܧ‬௬ = ݇ߣ න
Addi Josué Elvir C.

(‫ ݔ‬ଶ

௔

଴

݀‫ݕ‬
sen ߠ
‫ݎ‬ଶ

‫ݕ݀ݕ‬
+ ‫ ݕ‬ଶ)ଷ/ଶ

(‫ ݔ‬ଶ

‫ݕ݀ݕ‬
+ ‫ ݕ‬ଶ )ଷ/ଶ
Página 1

Para resolver la integral, hacemos un cambio de variable:
‫ݔ = ݑ‬ଶ + ‫ݕ‬ଶ
ௗ௨
݀‫ = ݑ‬2‫ → ݕ݀ݕ‬ଶ = ‫ݕ݀ݕ‬

Sustituyendo:
‫ܧ‬௬ =

݇ߣ ݀‫ݑ‬
݇ߣ
න ଷ/ଶ =
න ‫ିݑ‬ଷ/ଶ ݀‫ =ݑ‬−݇ߣ‫ିݑ‬ଵ/ଶ
2 ‫ݑ‬
2
௔
1
‫ܧ‬௬ = −݇ߣ ቈ
቉
ඥ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݕ‬ଶ ଴
‫ܧ‬௬ = −݇ߣ ൤

1

1
− ൨
√‫ ݔ‬ଶ + ܽଶ ‫ݔ‬

La componente en “x” del campo eléctrico se da por:
݀‫ݕ‬
‫ݕ݀ݔ‬
ܿ‫ ߣ݇ = ߠݏ݋‬ଶ
ଶ
‫ݎ‬
(‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬ଶ )ଷ/ଶ
Sacando lasconstantes, la integral nos queda:
௔
݀‫ݕ‬
‫ܧ‬௫ = ݇ߣ‫ ݔ‬න
ଶ
ଶ ଷ/ଶ
଴ (‫ ݔ‬+ ‫) ݕ‬
Esta integral está un poco complicada, pero con sustitución trigonométrica tenemos:
݀‫ܧ‬௫ = ݇ߣ

‫ߠ݊ܽݐݔ = ݕ‬
݀‫ݔ = ݕ‬sec ଶߠ݀ߠ

Sustituyendo:

‫ܧ‬௫ = ݇ߣ‫ ݔ‬ଶ න

sec ଶ ߠ݀ߠ
(‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬ଶ ‫݊ܽݐ‬ଶ ߠ)ଷ/ଶ

Sacando de factor común ‫ ݔ‬ଶ del denominador y aplicando propiedades:
‫ܧ‬௫ =
‫ܧ‬௫ =

݇ߣ‫ ݔ‬ଶ
sec ଶ ߠ݀ߠ
න
‫ݔ‬ଷ
(1 + ‫݊ܽݐ‬ଶߠ)ଷ/ଶ

݇ߣ sec ଶ ߠ݀ߠ ݇ߣ
݀ߠ
න
න
=
ଷ
‫ݔ‬
‫ߠ ܿ݁ݏ‬
‫ ݔ‬sec ߠ

݇ߣ
݇ߣ
න cos ߠ ݀ߠ = ‫ߠ݊݁ݏ‬
‫ݔ‬
‫ݔ‬
Recordando el triángulo rectángulo para ver quién es el ‫∶ ߠ݊݁ݏ‬
‫ܧ‬௫ =

௔

݇ߣ
‫ݕ‬
݇ߣ
ܽ
‫ܧ‬௫...