Campo Electrico

Potenciales y campos eléctricos

Objetivo
El objetivo de este experimento es determinar las líneas (o superficies) equipotenciales, es decir, el lugar geométrico donde el potencial eléctrico es constante. Estos potenciales son creados en este caso conectando electrodos sumergidos en un medio poco conductor (líquido) a una fuente de baja tensión. Los potenciales se miden con un voltímetro.Finalmente, se propone comparar los resultados experimentales de la distribución de potencial con la que resulta al resolver la ecuación de Laplace con un método numérico usando una planilla de cálculo.

Introducción
El campo eléctrico en un dado punto del espacio, está relacionado con las fuerzas que en dicho punto se ejercen sobre una carga testigo q, colocada en ese punto. Si la r fuerza que rel punto de coordenadas (x,y) el campo eléctrico en carga q es
r r F ( x , y , z ) = q ⋅ E (x , y , z )

E (x,y) ejerce sobre la
(1)

F (x,y). Según la definición de campo eléctrico tenemos[1-3]:

r Como la fuerza es un vector y la carga q un escalar, resulta claro que E es también un r vector. F Por su parte el potencial eléctrico esta relacionado con el trabajo que se

necesita hacerpara llevar una carga de un punto a otro debido al campo eléctrico. Como el trabajo es una magnitud escalar, el potencial también lo es. Más específicamente la variación de potencial entre dos puntos próximos es:
r r r dW 1 r = − F ( x, y) ⋅ d l = − E ⋅ dl q q dV dy
y

dV = −

(2)

O sea que:
Ex = − dV , dx Ey = − Ez = − dV dz

(3)

o más generalmente:

 dV  E = −   dl  max(4)

Física re-Creativa - S. Gil y E. Rodríguez

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donde esta expresión significa que el módulo de E es igual a la derivada del potencial con respecto al desplazamiento, en la dirección que esta derivada es máxima. Además r esta dirección es la dirección del campo E . Esto se escribe más formalmente (los que no estén familiarizados con esta notación, pueden ignorar esta ecuación por ahora).r

E = −∇ ⋅ V .

(5)

Vemos también que cuando dV=0, como ocurre sobre una línea equipotencial, la r r componente de E sobre esta línea es cero. En otras palabras E es siempre perpendicular a las líneas (o superficies) equipotenciales. La idea central de este experimento consiste en determinar experimentalmente, para una dada configuración, las líneas equipotenciales (es decir las líneassobre las cuales el potencial (medido con un voltímetro) es constante. A partir de estas líneas equipotenciales, se pueden encontrar las líneas de campo, trazando las trayectorias ortogonales a las líneas equipotenciales. La Ley de Gauss[1-3] (físicamente equivalente a la ley de Coulomb) relaciona los campos con las cargas y puede expresarse de dos maneras. En forma integral establece:

∫

rr q E ⋅ dS = neta , ε0 S

(6)

aquí la integral es sobre una superficie cerrada y q neta es la carga neta en el interior de dicha superficie. En forma diferencial, esta ecuación se escribe como:
r r ρ ∇ ⋅ E. = ε0

(7)

donde ρ es la densidad volumétrica de carga. Combinado (5) y (7) obtenemos la ecuación de Poisson que relaciona los potenciales con las cargas:
∇2 ⋅V = − ρ ε0

(8)Cuando la densidad de cargas es nula, o sea en las zonas donde no hay carga neta, esta ecuación se reduce a la ecuación de Laplace:

∇2 ⋅ V = 0

(9)

Método de Relajación:[3-5] Este método permite resolver en forma numérica la ecuación de Laplace. En particular describiremos brevemente su resolución para el caso bidimensional que puede realizarse usando una hoja de cálculo. Si el problema esbidimensional, la ecuación (9) puede escribirse como:

Física re-Creativa - S. Gil y E. Rodríguez

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∂ 2V ∂ 2V + =0 ∂x 2 ∂y 2

(10)

Si discretizamos el plano x,y de modo de formar una malla bidimensional como se ilustra en la Figura 1, las coordenadas x,y se reemplazan por los índices i,j. Recordando las expresiones clásicas de derivación numérica:
Vi +1, j − ⋅Vi, j ∂V ≈ , ∂x h
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