Campo electrico

Cálculo del campo eléctrico debido a un segmento de línea cargada. La figura muestra un segmento de línea con distribución líneal uniforme de carga λ y un punto cualquiera A separado una distancia“a”del eje del segmento.

Imaginemos el segmento dividido en pequeños segmentos infinitesimales dx. La carga dq de un segmento dx está dada por dq= λdx. La distancia “r” de un segmento en la posición x rhasta el punto A es r = x 2 + a 2 . La contribución dE al campo en A, debido a este segmento está dado por: v r F dq ⋅ q dq x a λ ⋅ dx ˆ dE = r = k r = k 2 r = k 2 r Como r = + i + ˆ j ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ q rr q⋅r r r

r a ⎞ ⎛ k ⋅ λ ⋅ x ⋅ dx k ⋅ λ ⋅ a ⋅ dx ⎞ λ ⋅ dx ⎛ x ˆ ˆ + dE = k 2 ⎜ + i + ˆ ⎟ = ⎜ j j ⎟ = + dE x i + dE y ˆ r ⎠ ⎝ r3 r3 r ⎝ r ⎠ v ˆ j Integrando E = ∫ dE x ⋅ i + ∫ dE y ˆ

Para hallarel campo total en el punto A necesitamos sumar (integrar) las contribuciones de todos los segmentos. Integrando primero la componente en x. x2 x2 x2 x ⋅ dx λ ⋅ x ⋅ dx E x = ∫ dE x = ∫ k =k ⋅ λ ∫ x1 x1x1 r3 r3 Como r = (x 2 + a 2 ) ; r 3 = (x 2 + a 3 ) ;
1/ 2 3/ 2 x2

+ a2 Realizando un cambio de variable u = x 2 + a 2 ; du = 2 x ⋅ dx
x1 2

Sustituyendo E x = k ⋅ λ ∫

(x

x ⋅ dx

)3/ 2

Por lo tanto
⎡ ⎤ x2 du 1 λ x2 − 3 / 2 λ ⎢ u −1 / 2 ⎥ λ −1 / 2 ⋅ 3 / 2 =k ∫ u ⋅ du = k ⎢ E x = kλ ∫ ⎥ = k − 2u x1 2 x1 1 ⎥ 2 2⎢ 2 u − ⎢ 2 ⎥ x1 ⎣ ⎦
x2

[

]

x2 x1

=k

λ⎡

1 ⎤ 2− 1/ 2 ⎥ 2 ⎢ u ⎦ x1 ⎣

x

⎡ ⎤ a 1 1 λ E x = kλ ⎢ 2 − ⎥ × = k [senθ 1 − senθ 2 ] 2 1/ 2 2 2 1/ 2 (x2 + a ) ⎥ a a ⎢ ( x1 + a ) ⎣ ⎦

Integrando la componente en y x2 x2 x2 a ⋅ dx x2 dx λ ⋅ a ⋅ dx E y= ∫ dE y = ∫ k =k ⋅ λ ∫ = k ⋅ λ ⋅ a∫ 3 3 x1 x1 x1 x1 2 r r (x + a 2 )3 / 2 x ctgθ = ; x = a ⋅ ctgθ ; dx = − a csc 2 θ ⋅ dθ a 2 x2 − a ⋅ csc θ ⋅ dθ x2 a ⋅ csc 2 θ ⋅ dθ E y = k ⋅ λ ⋅ a∫ = k ⋅ λ ⋅ a∫ −3/ 2 x1 x1 (a 2 ctg 2θ + a 2 )3 / 2 a 3 (ctg 2θ + 1) Recordando que 1 1 sen 2θ cos 2 θ ( sen 2θ + cos 2 θ = 1)( ); + = ; 1 + cot 2 θ = csc 2 θ ; ∴ 2 2 2 sen θ sen θ sen θ sen 2θ x2 x2 x2 a ⋅...