campo magnetico

Cuando tenemos un sistema de partículas nos interesa poder calcular sus propiedades globales, siendo la más obvia de éstas la posición central o media del sistema. Si todas las partículas tuvieran la misma masa, esta posición central sería el centro geométrico de las posiciones de las partículas. Sin embargo, generalmente no todas las partículas poseen la misma masa y es necesario sopesar cadauna de las posiciones de acuerdo con la masa correspondiente.

Teniendo en cuenta lo anterior, se define el importante concepto físico de centro de masas (CM) de un sistema como el punto cuyo vector de posición rCM es igual a:


siendo N el número de partículas. El denominador de esta ecuación corresponde a la masa total del sistema

El centro de masas es la posición media de las partículas,ponderadas según sus masas.


La definición anterior también se puede formular en función de las coordenadas. Si xi, yi y zi son las coordenadas de la partícula i, las coordenadas del centro de masas vienen dadas por:


A veces no podemos distinguir la naturaleza discreta de las partículas del sistema, que hemos de estudiar como un continuo. En este caso, en vez de partículas hay queconsiderar elementos infinitesimales de volumen dV. La masa de cada uno de ellos es igual a ρdV, siendo ρ la densidad de la sustancia (que se define como la masa por unidad de volumen). La densidad es, en general, función de la posición ρ(r). En el caso concreto de sistemas homogéneos, la densidad es constante ρ(r) = ρ.

El objeto se divide en elementos infinitesimales de volumen y las sumasanteriores se transforman entonces en integrales.

Estas integrales se extienden sobre el volumen ocupado por el sistema. La masa total es, a su vez, igual a la siguiente integral:

En determinadas ocasiones, se tienen objetos, tales como varillas, casi unidimensionales. Entonces las integrales de volumen anteriores se convierten en integrales simples a lo largo de la dirección del objeto, y lasdensidades correspondientes han de ser lineales (masa por unidad de longitud), ρl. Análogamente se pueden tener objetos casi bidimensionales, tales como planchas, en cuyo caso las integrales serán bidimensionales y las densidades serán superficiales (masa por unidad de superficie), ρs.


Cálculo del centro de masas

En los sistemas formados por un número relativamente pequeño de partículas, lamejor forma de calcular el centro de masas es por aplicación directa de su definición.

En los casos en que el sistema presenta una cierta simetría, el CM también habrá de verificarla, por lo que deberá estar situado en todos los elementos de simetría existentes. Esto es válido tanto para sistemas discretos como continuos. Así, si tenemos cuatro masas iguales colocadas en los vértices de uncuadrado, el CM estará situado en el centro del cuadrado. El de una esfera, tanto si es hueca como si es maciza, estará en su centro. Si se tiene una varilla, el CM estará sobre su eje; si además su densidad es constante, estará justo en el centro. En la ilustración se muestran las posiciones de los CM de algunos objetos geométricos.


A veces es conveniente dividir el sistema en dos o más partes,sobre todo cuando éstas presentan alguna simetría no compartida por el conjunto completo. También puede resultar de interés esta división cuando las integrales correspondientes a cada una de las partes son más sencillas que las del total, debido, por lo general, a una mayor simplicidad de los límites de integración. Si se sabe calcular el CM de todas las partes, podemos obtener el CM totalprocediendo como si toda la masa de cada una de las partes estuviera concentrada en su CM correspondiente, como se deduce de la propia definición de CM.


Si tenemos un objeto con un hueco, podemos calcular el CM del objeto sin hueco y el de un cuerpo que tuviera la forma del hueco. El CM total lo podemos obtener, a partir de los dos anteriores, utilizando la expresión, pero considerando negativa la...