campo magnetico

Enunciado
Supongamos una espira circular por la cual circula una corriente I. Se trata de hallar el campo magnético en los puntos del eje de la espira (para el resto del espacio no existe expresiónanalítica sencilla)

2 Integración
Aplicamos la ley de Biot y Savart

\mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right) = \frac{\mu _0I}{4\pi}\int\mathrm{d}\mathbf{r}'\times\frac{\left(\mathbf{r} -\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right|^3}
Tomamos como eje z el de la espira, de forma que

\mathbf{r} = z\mathbf{u}_z\, \mathbf{r}' = R\left(\cos\varphi'\,\mathbf{u}_x +\,\mathrm{sen}\,\varphi'\,\mathbf{u}_y\right) \mathrm{d}\mathbf{r}' = R\left(-\,\mathrm{sen}\,\varphi'\,\mathbf{u}_x + \cos\varphi'\,\mathbf{u}_y \right)\mathrm{d}\varphi '

\mathbf{r} - \mathbf{r}' = -R\cos\varphi'\,\mathbf{u}_x - R\,\mathrm{sen},\varphi'\,\mathbf{u}_y + z\mathbf{u}_z \left|\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right| = \sqrt{R^2 + z^2}

Hallando el producto vectorial y extrayendo losfactores constantes:


\mathbf{B}(z) = \frac{\mu _0IR}{4\pi\left(R^2 + z^2\right)^{3/2}}\left(\mathbf{u}_xz\int_0^{2\pi}\!\!\!\! \cos\varphi'\,\mathrm{d}\varphi' +\mathbf{u}_yz\int_0^{2\pi}\!\!\!\!\mathrm{sen}\,\varphi'\mathrm{d}\varphi' + \mathbf{u}_zR\int_0^{2\pi}\!\!\!\!\mathrm{d}\varphi'\right)
Las integrales para Bx y By se anulan, lo que se puede explicar como que el campo horizontalde un segmento de espira se anula con el del diametralmente opuesto.

Imagen:integralBespira.png Imagen:grafBespira.png
Integrando la componente z queda el campo\mathbf{B}=\frac{\mu_0IR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}\mathbf{u}_z
Este campo va en la dirección del eje y su gráfica es una campana con un máximo en el centro.

El valor máximo del campo es B_\mathrm{max}=\mu_0I/2R\,, que para unaespira de 10 cm por la cual circule una corriente de 1 A da un campo B_\mathrm{max} \simeq 1.26\mu\,\mathrm{T}.

3 Enlaces
4 Campo en todo el espacio
En el resto del espacio el campo se puede...