campo vectorial conservativo

Campo conservativo
Se dice que un campo vectorial es conservativo si la circulación del campo a lo largo de una curva es independiente del camino, solo depende de los puntos inicial y final de lacirculación.
Los campos conservativos se pueden expresar como gradiente de una función escalar, es decir existe una función escalar de punto V(x,y,z) que cumple:

Por lo que el cálculo de lacirculación se convierte en:

La circulación de un campo conservativo por una línea cerrada es por tanto cero:

Si un campo vectorial es conservativo cumple además estas condiciones:
; ; 
Conservativoes uno en el que el trabajo neto realizado en una trayectoria cerrada escero.
Ejemplo. La gravedad. Para subir un objeto a 3m de altura tienes que hacer un trabajo, pero para bajarlo es el campo elque hace el trabajo, transformando una magnitud llamada energía potencial en trabajo. Es decir, en la subida ejerces trabajo contra el campo, y en la bajada él te lo devuelve y no tienes que hacer nadapara que el objeto caída. Resultado neto total: cero.









Campos vectoriales conservativos e independencia del camino
F (x,y) = (2x , y)
 

Todos los vectores parecen ser normalesa la curva de nivel de la que emergen. Puesto que esto es una propiedad de los gradientes, cabe preguntarse si el campo vectorial F (x,y) = (2x , y) es el campo gradiente de alguna funcióndiferenciable f. La respuesta es que cientos campos vectoriales, a los que se denominan conservativos, son campos gradientes de funciones diferenciables.
Definición de Campos Vectoriales conservativos:
 
Uncampo vectorial gradiente F = L f se le denomina conservativo y a la función escalar  f se le conoce como función potencial del campo F.
 
 El campo vectorial del ejemplo anterior es conservativo.Para comprobarlo basta tomar la función potencial:
… f(x, y) = x2 + ½ y2
Si calculamos el gradiente de f, obtenemos:
L f = (2x, y) = F (x, y)
Criterio para campos conservativos:
El campo...