Campo Vectorial

Campo vectorial:
Definición de campo vectorial
Físicamente un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial.
Matemáticamente se define un campo vectorial como una función vectorial de las coordenadas o como un caso especial de una transformación no necesariamente lineal. , en donde  representa el espacio vectorial que hace las veces de dominio y  el espaciovectorial que actúa como rango.

El campo ilustrado en la ecuación anterior es un campo vectorial , dado que la función vectorial tiene tres componentes y cada componente es una función de tres variables independientes.
Cuando se modela la distribución de esfuerzos en una estructura, la distribución de fuerzas de naturaleza electromagnética o gravitatoria en el espacio, se hace usando camposvectoriales.
O también se puede decir que la divergencia de un campo vectorial  en un punto  como el límite

donde el límite se toma sobre volúmenes τ cada vez más pequeños que tienden al punto 
La divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar.
Esta cantidad es independiente de la sucesión de volúmenes que se tomen con tal de que converjan en el mismo punto de manera uniforme.Ejemplo
Vamos a calcular la divergencia de  en .
En el artículo sobre flujo de un campo vectorial se ve que si consideramos una superficie cúbica de arista 2a en torno al origen de coordenadas, el flujo del vector de posición a través de esta superficie es

El volumen de este cubo es

Por tanto la divergencia en  es

Calculemos ahora esta misma divergencia pero considerando esferas deradio R en torno al origen. Para cada una de estas esferas el volumen es

y el flujo a través de la superficie esférica

por lo que la divergencia en  es

Vemos que el resultado es independiente de que lo hayamos calculado usando cubos o esferas.
Hay que destacar que lo que hemos calculado es la divergencia en un solo punto.
3 Fuentes escalares de un campo vectorial
La divergencia es una cantidadescalar con signo. Este signo posee significado geométrico y físico:
Si la divergencia de un campo vectorial en un punto es positiva, quiere decir que en dicho punto el campo radia hacia el exterior. Se dice que esa posición el campo vectorial posee un manantial.
Si por contra la divergencia es negativa, el campo converge hacia dicho punto; se dice que el campo posee un sumidero.
Ambos,manantiales y sumideros, constituyen las fuentes escalares de un campo vectorial; por ello
Si la divergencia es nula en un punto el campo carece de fuentes escalares en dicho punto.
El concepto de divergencia se define para cada punto. A partir de esta definición, puede construirse un campo escalar a partir de uno vectorial, cuyo valor es igual a la divergencia del campo vectorial en dicho punto

Estecampo ρ, que rescribe la distribución de manantiales y sumideros del campo vectorial, se conoce como fuentes escalares de .
El uso de la palabra fuentes para algo que parece derivarse de otra cosa, se debe a que en la práctica el camino es el contrario: lo que se conoce habitualmente son las fuentes del campo y la cantidad que hay que calcular es el propio campo vectorial. En este sentido lasfuentes “producen” el campo.
El ejemplo físico más sencillo es el del campo electrostático. Las cargas eléctricas (que son las fuentes escalares) producen el campo eléctrico. El campo eléctrico radia hacia el exterior de las cargas positivas, que son sus manantiales, y converge hacia las cargas negativas, que son sus sumideros.

Otros ejemplos de campos vectoriales son las funciones de velocidadasociadas a las trayectorias de las partículas o diferenciales de volumen de una sustancia en condiciones de flujo bien sea laminar o turbulento.
Las funciones, ampliamente empleadas en la ingeniería, para modelar matemáticamente y caracterizar magnitudes físicas, y cuyo dominio podría ser multidimensional, pueden tener un rango unidimensional o multidimensiona1. El primer tipo de funciones...