Campo vectorial

OBJETIVO

El objetivo de esta investigación es conocer, comprender y asimilar los diferentes conceptos del análisis vectorial en sus diferentes áreas de estudio tanto en lo físico, grafico y practico, parte de esto se analizara el espacio y objetos matemáticos que se emplearan para una mejor comprensión del análisis matemático que se le dará los diversos temas y también el objetivo que se lograes de poder dibujar un campo vectorial, determinar si es conservativo, encontrar una función de rotacional o de divergencia, donde se combinaran el conocimiento de vectores con el de cálculo integral. Algunos ejemplos de campos vectoriales incluyen los campos de velocidad, electromagnéticos y gravitacionales.

MARCO TEÓRICO

CAMPO VECTORIAL

Definición de campo vectorial

Físicamente uncampo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Matemáticamente se define un campo vectorial como una función vectorial de las coordenadas o como un caso especial de una transformación no necesariamente lineal. , en donde  representa el espacio vectorial que hace las veces de dominio y  el espacio vectorial que actúa como rango.

El campo ilustrado en la ecuaciónanterior es un campo vectorial , dado que la función vectorial tiene tres componentes y cada componente es una función de tres variables independientes.

Cuando se modela la distribución de esfuerzos en una estructura, la distribución de fuerzas de naturaleza electromagnética o gravitatoria en el espacio, se hace usando campos vectoriales.

Otros ejemplos de campos vectoriales son lasfunciones de velocidad asociadas a las trayectorias de las partículas o diferenciales de volumen de una sustancia en condiciones de flujo bien sea laminar o turbulento.

Las funciones, ampliamente empleadas en la ingeniería, para modelar matemáticamente y caracterizar magnitudes físicas, y cuyo dominio podría ser multidimensional, pueden tener un rango unidimensional o multidimensional. El primer tipode funciones (rango unidimensional) se define como campo escalar, y esta se corresponde a una magnitud física que requiere sólo de un número para su caracterización.

Un campo escalar, por tanto, es una función, escalar, cuyo valor depende del punto que se estudie. Un ejemplo de este tipo de funciones puede ser la distribución de temperaturas dentro de un cuerpo, la presión ejercida sobre uncuerpo por un fluido, o un potencial eléctrico. Por otro lado, un campo vectorial se corresponde con el segundo tipo de funciones (rango multidimensional) en donde una magnitud física requiere de un vector para su descripción, como puede ser, por ejemplo, el flujo de un fluido o un campo de fuerzas gravitacionales o eléctricas.

Representación de un campo vectorial

Líneas de fuerza

Larepresentación de los campos vectoriales se hace mediante mapas semejantes a los de los campos escalares, pero usando líneas que representan la continuidad de la orientación de los vectores de campo sobre una región definida. Estas líneas reciben el nombre de líneas de fuerza.
Al igual que con los campos escalares, un campo vectorial no puede representarse fácilmente en tres dimensiones, por lo quenormalmente se hacen proyecciones sobre los planos directores del sistema de coordenadas.

Representación de un campo vectorial de .

Campo vectorial tridimensional

Propiedades de un campo vectorial

Circulación y Rotacional

Cuando las líneas de fuerza en cualquier región del espacio donde se encuentre definido el campo siguen una trayectoria cerrada se dice que el campo posee circulaciónen dicha región.
La circulación es una característica de los campos vectoriales y tiene una definición matemática relativamente simple.
Líneas de fuerza de un campo vectorial con circulación.

La circulación de un campo es la sumatoria sobre una trayectoria cerrada de las componentes de campo tangenciales la trayectoria.

Cuando se desea medir la circulación de un campo vectorial como...