Campos Vectoriales En La Ingenieria

Efecto del crecimiento en procesos de reacción difusión, un acercamiento a la biología del crecimiento
El comportamiento de las ecuaciones de reacción-difusión ha sido estudiado en diversos campos de la biología, la bioingeniería y la química, entre otras. En especial, cuando los parámetros del sistema de reacción-difusión se encuentran en el espacio de Turing, la solución lleva a la formaciónde patrones de Turing que son estables en el tiempo e inestables en el espacio.
Aquí  se plantea, de forma general, las ecuaciones de reacción-difusión sobre dominios crecientes,  para estudiar el efecto del crecimiento sobre la formación de patrones se resuelven varios ejemplos numéricos sobre diferentes geometrías. Para la solución numérica se utilizó el método de los elementos finitos enconjunto con el método de Newton-Raphson para la aproximación de las ecuaciones diferenciales parciales no lineales.
Un sistema de reacción-difusión (RD), para dos especies, está dado por la ecuación (1
donde u1 y u2 determinan la concentración de las especies químicas presentes en los términos de reacción, f y g, d es el coeficiente de difusión adimensional y g es una constante deadimensionalización del sistema.
Los sistemas RD han sido estudiados ampliamente para determinar su comportamiento en diferentes escenarios de parámetros, geométricos y para diferentes aplicaciones biológicas. Una de las áreas en que se ha desarrollado gran trabajo sobre las ecuaciones RD es la formación de patrones que son estables en el tiempo e inestables en el espacio. En especial, Turing en sulibro "The chemical basis of morphogenesis" desarrolló las condiciones necesarias para la formación de patrones espaciales. Las condiciones para la formación de patrones determinan el espacio de Turing, dado por las restricciones siguientes (2):

Donde fl y gl y indican las derivadas de las funciones de reacción con respecto a las variables de concentración, por ejemplo .1
Estas ecuacionesplantearon una creciente rama de investigación de los sistemas dinámicos: las inestabilidades de Turing. La teoría acerca de los patrones de Turing ha permitido explicar la formación de patrones biológicamente complejos, como las manchas que se encuentran en la piel de algunos animales y en problemas de morfogénesis, entre otros. Además, recientemente se ha comprobado, experimentalmente, que elcomportamiento de algunos sistemas RD generan patrones de ondas viajeras y patrones espaciales estables.
El análisis de estos sistemas de RD, que presentan inestabilidad de Turing, se ha desarrollado desde dos marcos de trabajo: mediante análisis matemático y mediante simulación numérica. Desde el punto de vista analítico, los esfuerzos por entender el comportamiento de los sistemas de RD se hancentrado en el estudio de la relación entre las bifurcaciones del espacio de parámetros y la formación de patrones. A partir de este enfoque se ha investigado los sistemas RD mediante comparaciones de subsoluciones y supersoluciones, teoría de grado, índice de Conley, teoría de puntos críticos y perturbaciones singulares para varios tipos de máximos principales.Estos métodos han sido efectivos para elanálisis de soluciones estacionarias y ondas viajeras. También se han estudiado escenarios de bifurcaciones complejas en sistemas de RD aplicando métodos de teoría de grupos para problemas con simetrías. Gracias a los esfuerzos en esta área del análisis matemático y, específicamente, de la dinámica de sistemas se ha construido un gran conocimiento que se ha comprobado y ampliado desde el punto devista de la simulación numérica.
Los métodos numéricos aplicados al análisis de sistemas de RD han confirmado el conocimiento que sobre la formación de patrones se tiene. Por ejemplo, Madzvamuse y otros y Painter y otros han desarrollado ejemplos numéricos sobre la formación de patrones en dominios bidimensionales bajo la acción del crecimiento del dominio. Madzvamuse desarrolla las simulaciones...