Campos Vectoriales Parte 2

Campos Vectoriales:
Un campo vectorial se representa matemáticamente con una función
vectorial. Una función vectorial puede ser de la forma:

F  rCos ar  z 2 r a  rSen a z
Los términos individuales se denominan componentes del vector y cada
componente está compuesta por la magnitud y la dirección.

La primera componente del campo tiene una magnitud rCos y está en la
dirección a r
2
Lasegunda componente del campo tiene una magnitud z r y está en la
dirección a
La tercera componente del campo tiene una magnitud rSen y está en la
dirección a z
Debemos notar que el campo está en Coordenadas Cilíndricas

En general las magnitudes de las componentes de un campo cualquiera en un
sistema particular las denotaremos como: f1 , f 2 y f3
Un Campo en coordenadas rectangulares lodenotaremos como:

F  f1 a x  f 2 a y  f 3 a z
Un Campo en coordenadas cilíndricas lo denotaremos como:

F  f1 ar  f 2 a  f 3 a z
Un Campo en coordenadas esféricas lo denotaremos como:

F  f1 aR  f 2 a  f 3 a
Se debe entender que:
En un campo en coordenadas rectangulares:

f1 es la magnitud de la componente del campo en la dirección
f 2 es la magnitud de la componente del campo en la direcciónay

f 3 es la magnitud de la componente del campo en la dirección

az

ax

En un campo en coordenadas cilíndricas:

f1 es la magnitud de la componente del campo en la dirección
f 2 es la magnitud de la componente del campo en la dirección

a

f 3 es la magnitud de la componente del campo en la dirección

az

ar

En un campo en coordenadas esféricas:

f1 es la magnitud de la componente del campoen la dirección
f 2 es la magnitud de la componente del campo en la dirección

aR

f 3 es la magnitud de la componente del campo en la dirección

a

Así, para el campo: F  rCos ar  z 2 r a  rSen az
f1  rCos ; f  z 2 r ; f  rSen
2

3

a

Sobre los campos vectoriales realizaremos las operaciones fundamentales
la Divergencia del Campo, el Rotacional del Campo. Además, se puede obtenerun campo vectorial mediante la aplicación del gradiente a un campo escalar.
Tanto la Divergencia, el rotacional y el gradiente utilizan el símbolo Nabla
(  ) sin embargo se utiliza un punto o una cruz o simplemente el puro nabla
para representar la operación correspondiente.
Para la divergencia utilizaremos  
Para el rotacional utilizaremos  
Para el gradiente utilizaremos 
La divergencia seaplica sobre un campo vectorial y da como resultado un
campo escalar.   F  f
El rotacional se aplica sobre un campo vectorial y da como resultado otro
campo vectorial.   F  G
El gradiente se aplica sobre un campo escalar y da como resultado un campo
vectorial f  G

1.- Divergencia de un campo Vectorial:  
Por los momentos la Divergencia es solo una fórmula que le aplicaremos a
un campovectorial. Lo que se debe destacar es que existen tres fórmulas de
Divergencia dependiendo del sistema en el que se encuentre el campo.
Para un campo en coordenadas rectangulares la formula viene dada por:
 



F  
( f1 ) 
( f2 ) 
( f 3 )
y
z
 x


Para un campo en coordenadas Cilíndricas la formula viene dada por:
F 


1 


(
rf
)

(
f
)

(
rf
)
1
2
3 
r  r

z
Para un campo en coordenadas Esféricas la formula viene dada por:
F 

1 
1

1

2
(
R
f
)

(
Sen
(

)
f
)

( f3 )
1
2
RSen ( ) 
RSen ( ) 
R 2 R

Es importante destacar que el resultado de aplicar una divergencia, es un
campo sin direcciones, es decir, sin los vectores unitarios

(ax , a y , az ), (ar , a , az ), (aR , a , a )
Este tipo de campo recibe el nombre de campoEscalar.

Nota: Si   F  0 se dice que el campo F es solenoidal

Ejemplo1:
Determina la divergencia del campo F  rCos ar  z 2 r a  rSen az
Lo primero que debemos determinar es el sistema en el cual se encuentra el
campo para saber cuál de las tres formulas debemos aplicar. Observamos que
el campo en cuestión se encuentra en coordenadas cilíndricas por lo que:
F 


1 


(
rf
)

(
f
)
...