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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL NAUCALPAN

GUÍA DE ESTUDIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

DICIEMBRE DEL 2008

ELABORÓ: Pedro Clavijo Valdez

Guía de Cálculo I

CCH-Naucalpan

INTRODUCCIÓN Esta colección de ejemplos y ejercicios pretende servir como una guía para presentar el examen extraordinario de Cálculo Diferencial eIntegral I correspondiente al área de Matemáticas. El autor espera que te sea de utilidad esto será en la medida que la leas y trates de entender lo que hay en ella y resolviendo los ejercicios planteados, recuerda solo es una guía, trata de complementarla con lo visto durante tu curso.Me sería grato escuchar tus críticas sobre las dificultades que tuviste al trabajar con ella, los errores (queseguramente abundan) y como mejorarla para tu beneficio. Está basada en el Programa Oficial formulado por el CCH, el cual a manera de resumen presento a continuación Unidad 1 • Proponer situaciones que den lugar a procesos infinitos. • • • • • • • Utilizar Procedimientos aritméticos para resolver problemas que involucran Procesos infinitos. Acercar al concepto de límite de una función. Calcular einterpretar el cálculo del límite de una función. Unidad 2 Situaciones que se modelan con funciones polinomiales de grado 1,2 y 3. Comparación de la razón de los cambios en intervalos del mismo tamaño, cambios de los cambios. Razón de cambio, medición de la variación. Concepto y notación de derivada. Representación algebraica. Unidad 3 Derivada de funciones del tipo f ( x) = cx n . Reglas de derivación.Problemas de aplicación.Cálculo de tangentes y velocidades. Unidad 4 Comportamiento gráfico de una función. Máximos y Mínimos relativos criterio de la primera y segunda derivada, puntos de inflexión. Problemas de optimización.

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BIBLIOGRAFÍA -Cálculo de una Variable, trascendentes Tempranas.Thomson Learning. -Cálculo Aplicado.Warner Stefan y Costenoble S. Thomson Learning.

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UNIDAD 1
PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DEL CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.
• Situaciones que dan lugar a procesos infinitos PROBLEMA 1 Considera un cuadrado de lado 1,construye otro cuadrado interior uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado de lado 1,construye otro cuadrado interior uniendo los puntos medios del último cuadrado, continuando esteproceso una y otra vez, calcula la suma de las áreas de todos los cuadrados en el proceso descrito. Solución Es útil hacer un esquema parcial del problema a resolver:

Observemos que el área del cuadrado inicial es A1 = l12 = 1 . La del segundo cuadrado de lado l2 es, usando el Teorema de Pitágoras:
⎛l2 ⎞ l2 A ⎛l ⎞ ⎛l ⎞ ⎛l ⎞ A2 = l2 2 = ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ = 2 ⎜ 1 ⎟ = 2 ⎜ 1 ⎟ = 1 = 1 2 ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝4⎠2 Para el tercer cuadrado tenemos, usando el mismo argumento: 2 2 2 ⎛ l2 2 ⎞ l2 2 A2 ⎛ l2 ⎞ ⎛ l2 ⎞ ⎛ l2 ⎞ 2 A3 = l3 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 2 ⎜ ⎟ = 2 ⎜ ⎟ = = 2 ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝ 4 ⎠ 2
2 2 2

Es claro que A4 =

A3 A y que An = n −1 para n ≥ 2 . 2 2

NOTA Si se tiene la serie geométrica infinita a + ar + ar 2 + ar 3 + ... + ar n + ... donde a ar ar 2 ar n = = ... = n −1 = r para todo n ∈ Z + la suma deesta es si −1 < r < 1 es 1− r a ar ar a decir a + ar + ar 2 + ar 3 + ... + ar n + ... = 1− r

Así en forma más clara el área del cuadrado siguiente es la mitad del inmediatamente anterior, esto da lugar a la generación de la serie geométrica infinita: 1 1⎛1⎞ 1⎛1⎞ 1⎛ 1 ⎞ 1 1 + (1) + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ n−1 ⎟ + ... = =2 1 2 2⎝2⎠ 2⎝4⎠ 2⎝2 ⎠ 1− 2 Así el área total de los cuadrados construidos en elproceso infinito descrito al inicio es igual a 2. Ejercicio 1 Repite el problema del ejemplo 1 con un cuadrado de lado 16.
2

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PROBLEMA 2 Expresa el decimal periódico 0.73 como una suma infinita y calcula su valor: Debido a nuestro sistema de numeración posicional de base 10 tenemos: 7 3 3 3 3 3 0.73 = 0.7333... = + + + + + ... + + ... = 10 100 1, 000 10,...