canonicas

Descomposiciones Canónicas
Las descomposiciones canónicas de las ecuaciones de estado permiten
establecer la relación entre Controlabilidad, Observabilidad, y una matriz de
transferencia con susrealizaciones mínimas.
Considere la ecuación de estado,
˙
x
y

=
=

Ax + Bu
Cx + Du

Donde A ∈ Rn×n ; B ∈ Rn×p ;
p×n
;D ∈ Rq×p .
(1) C ∈ R

¯
Sea x = Px, donde P es no singular, P ∈Rn×n . Entonces sabemos que la
ecuación de estado,
˙
¯
x
y

=
=

¯x ¯
A¯ + Bu
¯x ¯
C¯ + Du

¯
¯
Donde A = PAP−1 ; B = PB;
¯
¯
C = CP−1 ; D = D;

es algebraicamente equivalente a(1).

Observabilidad– p. 1/12

Descomposiciones Canónicas
Teorema:(Descomposición controlable/no controlable) Considere la ecuación de
estado n-dimensional (1) y suponga que
rango(C) = rango([BAB . . . An−1 B]) = n1 < n
(luego, el sistema no es controlable). Sea P la matriz n × n matrix de cambio de
coordenadas definida como
P−1 = [q1 q2 . . . qn1 . . . qni ]
donde las primeras n1columnas son cualquier n1 columnas linealmente
independientes en C, y el resto se escogen arbitrariamente tales que P sea no
¯
singular. Entonces la transformación de equivalencia x = Px transforma (1)a
˙
¯
xC
˙
¯¯
xC
y

=

¯
AC
0

¯
A12
¯¯
AC

=

¯
CC

¯¯
CC x + Du

¯
xC
BC
u
+
xC
0
¯

Observabilidad– p. 2/12

Descomposiciones canónicas
Controllable
u

yC

Los estados en las nuevas coordenadas se descomponen en
¯
xC : n1 estados controlables
¯¯
xC : n − n1 estados no controlables.

C
Uncontrollable

La ecuación de estado de ordenreducido de los estados controlables
˙
¯
xC

=

¯
y

=

¯ ¯
¯
A C x C + BC u
¯ ¯
CC x + Du

es controlable y tiene la misma función de transferencia que la ecuación de estado original (1).La función de MATLAB ctrbf transforma una ecuación de
estado en su forma canónica controlable/no controlable.

Observabilidad– p. 3/12

Descomposiciones canónicas
Teorema (Descomposición...