Cantidades Imaginarias

Cantidades imaginarias y complejas
[pic]Objetivos
Reconocer que el grupo de las cantidades imaginarias es aplicable a la solución deecuaciones de la forma
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Efectuar correctamente operacionesy gráficas con cantidades imaginarias y complejas.
Conceptos generales
En anteriores capítulos hemos analizado ecuaciones de tipo
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Pero al analizar que sucede cuando se encuentran ecuacionesdel tipo
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El resultado de la incógnita indica que debe ser un número que elevado al cuadradode negativo, valor que en los números reales no existe. Este valor no existe porque sehavisto que para un índice par en la radicación el radicando no puede ser una cantidad negativa real. Este tipo de expresiones genera un nuevo conjunto de números que son los llamados números imaginarios.[pic]
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Potencias de la unidad imaginaria
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En forma general toda expresión
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Donde n es par y -a es una cantidad real negativa recibe el nombre de imaginaria pura.
Simplificaciónde las imaginarias puras
Toda raíz imaginaria pura puede simplificarse a la forma de una cantidad realmultiplicada por la unidad imaginaria
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Operaciones con cantidades imaginariaspuras
[pic]Suma y resta
Se simplifican las cantidades imaginarias a cantidades reales multiplicadas por [pic], es decir a la forma ai y se reducen como radicales semejantes.
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Simplificar:[pic]
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Generalmente se encuentran cantidades de la forma [pic] , y para hallar su valor se efectúa el siguiente procedimiento:
En las potencias de la cantidad imaginaria [pic], se vio que lascuatro primeras potencias de [pic] son: [pic] , -1, -[pic] , 1 y este orden se repite a partir de la cuarta potencia, luego entonces:
Para hallar el valor de [pic] , se divide el exponente de i entre elnúmero 4 que representa a la cuarta potencia de la cantidad imaginaria:
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En forma genérica:
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[pic]Multiplicación
Se simplifican las cantidades imaginarias a cantidades reales...