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UNIDAD 1 NUMEROS COMPLEJOS.
1.1 DEFINICION Y ORIGEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS.
Un número complejo, es una entidad matemática que viene dada por un par de números reales, el primero x se denomina la parte real y al segundo y la parte imaginaria. Los números complejos se representa por un par de números entre paréntesis (x, y), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de x+yi, i sedenomina la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno. La clase Complejo constará de dos miembros dato, la parte real real, y la parte imaginaria imag, ambos del tipo predefinido double.

ORIGEN DE LOS COMPLEJOS.
El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “númerocomplejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.
OTRAS FORMAS DEREPRESENTAR LOS NUMEROS COMPLEJOS.
1.- Forma Binómica.
Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a , de este modo se tiene:

Para cada número complejo z, la primera componente, x, se denomina parte real y la segunda, y, se denomina parte imaginaria.
Obviamente, dos números complejos son iguales si y sólo si lo son simultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias.
Usando este tipo derepresentación, la suma de complejos se corresponde con la suma de vectores. Dados dos vectores  y  su suma es 



Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir, si , entonces el módulo de  es .
El conjugado de un número complejo se define como su simétrico respecto del eje real, es decir, si , entonces el conjugado de  es .
El opuesto de un númerocomplejo es su simétrico respecto del origen.
Es fácil ver que se cumple, , por tanto podemos expresar el inverso de un número en la forma .
En vez de usar coordenadas cartesianas para representar a los puntos del plano podemos usar coordenadas polares, lo que da lugar a la siguiente forma de representación de los números complejos.

2. FORMA POLAR O MÓDULO-ARGUMENTO
Otra forma de expresar unnúmero complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,


NOTA: Un número complejo tiene infinitos argumentos distintos. De hecho se puede definir el argumento de un número complejo no nulo como el conjunto de todos los posibles valores que verifican lo anterior, es decir,

Es claro, por tanto, que si  es un valor particular del argumento de , entonces

Se denomina argumento principal al únicovalor  tal que , y se denota 
Se verifica entonces que
.
Dos números complejos y , representados en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos son iguales , y sus argumentos se diferencian en un número entero de vueltas, es decir, , con .
La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos, esdecir, si , y , entonces

Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nulo sin más que dividir los módulos y restar los argumentos:
,
siempre que .
Las fórmulas anteriores pueden generalizarse para el producto de varios complejos, así, si , para , entonces

Finalmente, en el caso en que todos los factores sean iguales se obtiene la fórmula de Moivre:

Esta fórmula estambién válida para exponentes enteros negativos, siempre que .
En particular tenemos otra expresión para el inverso de un número no nulo, .
(Aquí puedes ver una aplicación de la fórmula de Moivre)
Cambio de forma binómica a polar y viceversa:
Cambio de binómica a polar
Cambio de polar a binómica






3. FORMA EXPONENCIAL
Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida...