Capítulo_I

Unidad I. Movimiento Oscilatorio.
1.1 Aspectos generales del movimiento periódico.
En el estudio de la naturaleza, uno de los movimientos más interesantes
es el movimiento periódico. En él existe un comportamiento repetitivo lo cual
permite construir modelos matemáticos que lo representen y realizar con ellos
su análisis. Su presencia en la naturaleza es muy alta, de ahí su importancia y
comoejemplo de ellos se pueden mencionar los siguientes:
- El movimiento de una rueda con rapidez constante.
- El movimiento de un péndulo.
- Una masa sujeta a un resorte.
- La vibración de los átomos en un sólido.
- El movimiento de los átomos de una molécula.
- El movimiento de los electrones en una antena.
- El movimiento de los electrones en un circuito con bobina y capacitor.
- La tierra alrededordel sol.
- Un objeto sujeto a la acción de las ondas en el agua.
En todos los movimientos periódicos se define como periodo T al tiempo
en que se repite el movimiento y a la frecuencia del mismo f como el número de
movimientos por unidad de tiempo relacionando ambas variables a partir de:
1
T=
f
en donde se usa como unidad para la frecuencia los Hertz (Hz) equivalentes a
un ciclo por segundo.Dentro de los movimientos periódicos es posible distinguir dos tipos;
unos donde, al existir una fuerza que disminuya el movimiento (campo de
fuerzas no conservativo), el cuerpo o partícula se detendría en cualquier
posición, dependiendo del valor de la fuerza. Este es el caso del movimiento de
una rueda. Otros son los que, independiente del valor de la fuerza y mientras
siga siendo repetitivo, siemprese detendrán en el mismo punto, denominado
punto de equilibrio. Tal es el caso de un péndulo o de un sistema masa-resorte.
Estos últimos son los que se estudiarán en este capítulo y, respecto al
punto de equilibrio, éste tendrá como característica que la fuerza neta sobre el
cuerpo o partícula es cero. A partir de esta característica se pueden distinguir
dos tipos de puntos de equilibrio; aquelal cual siempre tenderá a ubicarse al
detenerse o aquel que, aunque la fuerza neta sea cero, al moverse ligeramente
de él, el cuerpo o partícula se sale del punto. Tal es el caso de un péndulo
compuesto que, al girar 360°, en el punto más alto la suma de fuerzas es cero y
puede detenerse y mantenerse ahí, pero fácilmente perdería su posición,
mientras que en la parte más baja, siempre estaría enequilibrio (ver figura 1.1).

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Figura 1.1 Tipos de equilibrio de un cuerpo
Los movimientos periódicos con punto de equilibrio estable se
denominan movimientos oscilatorios o vibratorios y cualquier desplazamiento
de dicho punto generará una fuerza restauradora, contraria al desplazamiento,
que tiende a llevar al cuerpo nuevamente al equilibrio. Tal es el caso de la
fuerza de un resorte sobre unamasa cuando se estira o comprime tal y como
se puede observar en la figura 1.2.

Figura 1.2 Sistema masa-resorte
Si se añade una fuerza que se opone al movimiento, como la fuerza de
fricción entre la masa y la superficie sobre la que se apoya en la figura anterior,
dicha fuerza provocará que la masa llegue al punto de equilibrio. A este tipo de
fuerzas se le denomina fuerza amortiguante y almovimiento como oscilatorio
amortiguado.
Finalmente, si se añade una fuerza externa, ya sea para tratar de
compensar a la fuerza amortiguadora o para hacer que el sistema oscile a
cierta frecuencia, el movimiento se denomina oscilatorio forzado.

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1.2 Movimiento Armónico Simple.
Dentro de los movimientos oscilatorios, el que resulta más sencillo para
su estudio es el Movimiento Armónico Simple (MAS)cuya característica
fundamental es que la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento.
Esta condición es a la que se aproximan muchos sistemas reales, por lo que su
estudio es fundamental en los movimientos oscilatorios.
1.2.1 Ecuación diferencial y soluciones.
Definiendo matemáticamente la característica del MAS se tendrá
F = −kx
en donde el signo menos indica que la fuerza es...