CAP 12 2013 LAPLACE

A 2.14.2 TEORÍA DE CIRCUITOS I

CAPÍTULO 12

RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS
APLICANDO TRANSFORMADA DE
LAPLACE

Cátedra de Teoría de Circuitos I
Edición 2013

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RESOLUCION DE CIRCUITOS APLICANDO TRANSFORMADA DE
LAPLACE.
12.1 Introducción
El cálculo de tensiones y corrientes en una red resistiva a la cual se aplica una cierta excitación
es un procedimiento muy sencillo. Ya no lo es tanto en redes quetambién contienen elementos
almacenadores de energía, como C y L, cuyas características volt-ampere están definidas
mediante derivadas (v = L di/dt, i = C dv/dt). Las ecuaciones resultantes son integrodiferenciales, y su solución requiere un esfuerzo mayor, pudiéndose resolverlas por el
denominado método clásico, o por aplicación de la transformada de Laplace, cuya utilización es
más simple. Eneste capítulo veremos la transformación de Laplace y su aplicación a la
resolución de circuitos con elementos R, L y C.
La aplicación de la transformada de Laplace nos permitirá también generalizar la excitación de
los circuitos, y hallar propiedades que son muy útiles para la solución de numerosos problemas
de ingeniería. Veremos que la transformación de Laplace es una generalización del conceptode
•

fasor: el fasor A es el número complejo asociado a la senoide A cos (ω t + ϕA), mientras que la
transformada de Laplace asocia una función compleja de la variable s, llamada F(s), con una
función dada del tiempo, f(t), definida en el intervalo [0,∞}. La transformada de Laplace juega
un papel muy importante relacionando el comportamiento temporal con el comportamiento
frecuencial de loscircuitos lineales invariantes en el tiempo.

12.2 La transformada de Laplace
Las variables v(t) e i(t) son "variables temporales', es decir, se miden en el dominio temporal, en
un instante de tiempo particular, usando voltímetros y amperímetros, o pueden visualizarse en
un osciloscopio. Podemos así obtener información sobre las mismas a partir de un trabajo
experimental. Por lo tanto,independientemente del método que usemos para resolver un
problema, veremos o interpretaremos mejor el resultado final en función de lo que ocurra en el
dominio temporal. Para llegar a la solución podremos, sin embargo, dejar el dominio temporal
por un tiempo, y retornar luego a él para interpretar los resultados.
La transformada de Laplace de la función f(t) definida en [0, ∞) esta dada por:
∞

L { f (t)}= ∫f(t) e- st dt = F(s)
0

(1)

-

Debido a que los límites de integración son t = 0 y t = ∞, la L-transformada de f(t) no es una
función del tiempo sino de s, la cual se introduce a través del factor e-st. La variable s se
denomina variable frecuencia compleja. La función transformada, F(s), es una función en el
dominio de la frecuencia compleja, o, más brevemente, en el dominio frecuencial.Designaremos
las funciones en el dominio temporal con minúscula, f y en el dominio frecuencial con
mayúscula F.

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Siendo que s es una variable compleja, sus partes real e imaginaria se designarán con σ y ω,
respectivamente, de donde:
s=σ+jω
σ real
y
ω real
Podemos visualizar s como un punto en el plano complejo, siendo σ la abscisa y ω la ordenada.
En la integral de (1), t es la variable deintegración, y se tomó como límite inferior 0 - de forma
que, si f(t) incluye un impulso en el origen, quede dentro del intervalo de integración.
En el caso de que f(t) fuera una función de variable compleja (por ejemplo, e( α + j β ) t ), por Euler
puede reducirse a una combinación de funciones de variable real.
También se sobreentiende que σ es lo suficientemente grande y positivo como para que e-σ tdecaiga rápidamente y la integral converja, es decir, para que el área bajo la curva ⏐f(t)⏐e-σt sea
finita.
Para que sea transformable, una función debe ser seccionalmente continua y de orden
exponencial. Si f(t) contiene solo un número finito de discontinuidades finitas aisladas, es
seccionalmente continua. Si, para M constante positiva y γ no real, ⏐f(t)⏐ < M eγt cuando t → ∞,
f(t) es de orden...