CAP 3 ECUACIONES CUADR TICAS





CAPÍTULO 3

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

3.1. DEFINICIÓN

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es de la forma: ax2 + bx + c = 0, siendo a, b y c números reales con a ≠ 0 y x la variable real. El valor de a debe ser diferente de 0 porque de lo contrario la ecuación se reduciría a otra de primer grado.

Observación: a es el coeficiente del término cuadrático (coeficiente de lavariable de grado 2). b es el coeficiente del término lineal (coeficiente de la variable de grado 1) y c es la constante (término independiente).

Ejemplo 1. Son ecuaciones de segundo grado los siguientes:

3x2 – 2x + 5 = 0, a = 3, b = -2, c = 5.
5x2 + 2x = 0 a = 5, b = 2, c = 0.
-x2 + 5 = 0 a = -1, b = 0, c = 5.
4x2 = 0 a = 4, b = 0, c = 0.

Ejemplo 2.También es ecuación de segundo grado (x+5)(x+6) = -2x + 6 porque se puede escribir en la forma general ax2 + bx + c = 0, mediante el uso de axiomas y teoremas. Por ejemplo:

Proposiciones Razones
1. (x+5)(x+6) = -2x + 6 Datos
2. x2 + 11x + 30 = -2x + 6 Def. (x)
3. x2 + 11x + 30 + 2x – 6 = 0 T: a ± b = c ⇔ a = c ∓ b
4. x2 + 13x –24 = 0 Términos semejantesObservación: las ecuaciones cuadráticas se obtienen igualando a cero un trinomio (completo o incompleto) de segundo grado.

3.2. TIPOS DE ECUACI0NES DE SEGUNDO GRADO

Las ecuaciones de segundo grado pueden ser: completas e incompletas; considerando las siguientes condiciones:

Completa ax2 +bx +c = 0 2x2 + 5x + 8 = 0 b ≠ 0 y c ≠ 0
Ecuaciones cuadráticas
ax2 +bx =0; c =0 x2 + 2x = 0

Incompleta ax2 +c = 0; b=0 2x2 -8 = 0

ax2 = 0; b=0 y c=0 4x2 = 0
3.3. PROCEDIMIENTOS PARA HALLAR LAS RAICES O SOLUCIONES (E. COMPLETAS).

Las soluciones de una ecuación cuadrática son aquellos valores de la variable que hacen que la expresión cuadrática tenga un valor de 0. Para hallar las raíces o soluciones (el o los valores de la variable) se tiene los siguientesprocedimientos:

Factorización Método del ASPA Completar un TCP
Por la fórmula Gráfico.

- FACTORIZACION.

Factorizamos la ecuación cuadrática y luego aplicamos el teorema del factor 0. La factorización consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se resuelven las ecuaciones lineales hallando el valor de x de cada binomio, igualando a 0 cada factor.Finalmente, se verifica la solución.

El teorema del factor cero establece que: Si a·b = 0 ≡ a = 0 v b = 0. En otras palabras, si el producto de dos números es cero, es equivalente a indicar que uno de los dos o los dos números es cero.

Ejercicio 1. Hallar las raíces de la ecuación: x2 – 22 x+ 121 = 0, por factorización.

Proposiciones Razones
1. x2 – 22 x+ 121 = 0 Dato
2. (x-11)2= 0 TCP
3. x-11 = 0 TF0
4. x = 11 T: a ± b = c ⇔ a = c ∓ b
5. CS ={11} Definición de CS.

Ejercicio 2. Hallar las raíces de: x2 - 5x – 24 = 0, por factorización.

Proposiciones Razones
1. x2 – 5x - 24 = 0 Dato
2. (x - 8) (x + 3) = 0 T: x2 +px+q
3. x-8 = 0 v x+3 =0 TF0
4. x = 8 v x = -3 T: a ± b = c ⇔ a = c ∓ b5. CS ={-3,8} Definición de CS.

Ejercicio 3. Resolver la ecuación: 4x2+8x+3 = 0, por factorización.
Proposiciones Razones
1. 4x2+8x+3 = 0 Dato
2. 1(4x2+8x+3) = 0 Axioma modulativo (x)
3. 4/4 (4x2+8x+3) = 0 a/a = 1; a ≠ 0
4. (4x)2+8(4x)+ 12 = 0 Axioma Distributivo.
4
5. (4x + 6)(4x + 2) = 0 T: x2 + px + q
46. 2(2x + 3) 2(2x + 1) = 0 Factor común
4
7. (2x + 3)(2x + 1) = 0 Simplificación.
8. 2x + 3 = 0 v 2x + 1 = 0 TF0
9. x = -3/2 v x = - ½ T: a ± b = c ⇔ a = c ∓ b
10. CS ={-3/2, -1/2} Definición de CS.



Resolver las siguientes ecuaciones:
1. x2 – 15x + 36 = 0 2. y2 + 19y + 60 = 0
3. z2 + 13z – 90 = 0...