Cap 3

RESPOSTAS DINÂMICAS A resposta dinâmica de um processo é o comportamento da variável de saída, para uma perturbação na variável de entrada. Os valores numéricos da resposta dinâmica (saída-y(t)) são obtidos resolvendo as equações diferenciais e algébricas que descrevem o processo, quando perturbado por um sinal externo (entrada-u(t))). Para análise da dinâmica do processo são utilizadasdiferentes perturbações que permitem apreciar características relevantes do seu comportamento. Algumas das perturbações mais utilizadas são apresentadas a seguir. 1 Perturbações

Dado um processo com entrada u(t) e saída y(t) define-se:

a)

Perturbação Degrau

A perturbação degrau é uma variação instantânea descrita matematicamente por:

0 t ≤ t 0 u(t ) =  1 t > t 0
clear all u=[zeros(1,10)ones(1,50)]; plot(u) axis([0 60 -0.2 1.5]) xlabel('tempo') ylabel('u(t)') text(10,-0.1,'t0')

A perturbação degrau é muito utilizada pela riqueza do seu conteúdo frequencial. O conteúdo frequencial de um sinal, neste caso de uma perturbação, pode ser analisado a partir da série de Fourier que aproxima a função em questão. No caso da perturbação degrau a série de Fourier está formada por senóidescom frequência variando entre zero e infinito. Uma aproximação pode ser observada no gráfico abaixo.

clear all t = 0:.1:55; y = zeros(10,max(size(t))); x = zeros(size(t));

yy=[0 ones(1,10)]; tt=etfe(yy'); yyt=tt(2:100,1); yytt=tt(2:100,2); for k=1:2:99 x=x+yytt(k)*sin(yyt(k)*t)/yyt(k); y(k,:) = x; end plot(y(1:4:99,:)')

O extremo oposto é a função senoidal, cuja série de Fourier éformada exclusivamente por ela mesma.

whitebg tau=5; [x y]=meshgrid(0:.1:1,0:.1:1); y1=exp(-tau*(x+y)); mesh(y1) hold y2=(1-(tau/2)*(x+y))./(1+(tau/2)*(x+y)); surf(y2) y3=(1-(tau/2)*(x+y)+(tau^2/12)*(x+y).^2)./(1+(tau/2)*(x+y)+(tau^2/12)*(x+y).^2); surf(y3) view(30,30) text(9, 15,'Pade2/2') text(11, 12,'exp') text(16, 4,'Pade1/1')

b)

Perturbação Rampa

A perturbação rampa é descrita pelaexpressão: 0 t < t  0 u( t ) =  , kt t ≥ t   0
clear all t=[0:50]; k=.02; u=[zeros(1,10) k*t]; plot(u) axis([0 60 -0.2 1.5]) xlabel('tempo') ylabel('u(t)') text(10,-0.1,'t0')

c)

Perturbação Senoidal

A perturbação senoidal é descrita pela função: u(t ) = Asen( wt )

onde A corresponde à amplitude da oscilação e w à frequência de oscilação.
clear all t=linspace(0,2*pi,60); A=1.2;w=2; u=A*sin(w*t); plot(u,'r') hold plot(zeros(1,30),':') line([16,16],[0,1.2]) axis([0 60 -1.5 1.5]) xlabel('tempo') ylabel('u(t)') text(17, 1,'Amplitude') text(5,-0.1,'período') hold off

d)

Perturbação Pulso

A perturbação pulso é uma perturbação que retorna ao estado original após um determinado período de tempo: d.1) Retangular
0 t ≤ t 0  u(t ) = 1 t > t > t 1 0  0 t ≥ t1
clear allu=[zeros(1,10) ones(1,20) zeros(1,20)]; plot(u) axis([0 60 -0.2 1.5]) xlabel('tempo') ylabel('u(t)') text(10,-0.1,'t0') text(30,-0.1,'t1')

d.2)

Triangular

0 tt 0  2

(

)

clear all np=100; t=[0:np]; k1=.08; k2=.02; u1=zeros(1,10); u2=k1*t(1,1:15); u3=(k1+k2)*t(15)-k2*t(1,16:fix((k1+k2)*t(15)/k2)); u4=zeros(1,np-10-fix((k1+k2)*t(15)/k2)); u=[u1 u2 u3 u4]; plot(u) axis([0 np-0.2 1.5]) xlabel('tempo') ylabel('u(t)') text(10,-0.1,'t0') text(10, 1,'k1') text(10+t(15),-0.1,'t1') text(50, 1,'-k2') text(10+fix((k1+k2)*t(15)/k2),-0.1,'t2')

2 2.1

Resposta Dinâmica de Processos Lineares de 1ª Ordem Resposta a uma Perturbação Degrau

Um sistema de 1ª ordem é representado (modelado) por uma EDO de 1ª ordem. Se o sistema é linear (ou linearizado), a equação que relaciona asaída y(t) com entradas u(t) para todo t é:

a1

dy (t ) + a 0 y (t ) = b u ( t ) dt

A função u(t) é chamada de "perturbação de entrada", que corresponde ao termo forçante da equação diferencial não homogênea apresentada acima. Este modelo representa dois tipos de processos com características de resposta dinâmica muito diferentes. Para a 0 ≠ 0 , definimos:

a)

τ = a1 (constante de...