CAP 8 INERCIA AREAS UNI1 2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS E INGENIERÍA

Curso: Estática (MC 337)

PERIODO ACADÉMICO 2014-III

Capítulo 8

Momentos de Inercia de Áreas y Masas
SUMILLA: Momento y Producto de Inercia de Áreas Planas. Teorema de Jakob Steiner.
Transformación de Momento de Inercia de Áreas. Círculo de Mohr. Momento y Producto
de Inercia deMasas. Teorema de Steiner para Momento de Inercia de Masas. Momento
de Inercia de Masas con respecto a Ejes Arbitrarios.
Objetivos
1. Desarrollar un método para determinar el momento de inercia de un área.
2. Introducir el producto de inercia de un área y enseñar cómo se calculan los
momentos de inercia máximo y mínimo de un área.
3. Discutir y calcular el momento de inercia y producto de inerciade las masas.

E

n Mecánica muchas aplicaciones requieren que se conozca la resistencia a la
rotación de los cuerpos o propiedades físicas involucradas en el cálculo de otras
magnitudes. Cuando el estudiante de Ingeniería llevó Física I, el tema que ahora
nos toca estudiar se aplicó solo a masas, ya que su definición parte de esa
concepción. Sin embargo, gracias a ello se demostrará que el momentode inercia es
una propiedad aplicable también a áreas planas1.
Demostración: DEFINICIÓN MATEMÁTICA DEL MOMENTO DE INERCIA

e
r1
m1

Sea un cuerpo sólido (no necesariamente rígido) de masa M, el cual
está conformado por n masas puntuales m1, m2, m3, …...., mn. Al
hacer girar las masas respecto a ejes perpendiculares a sus
respectivas circunferencias, la energía necesaria para hacer girar alconjunto viene dada por:
n

1
Ec = ∑ mi vi2
i =1 2

(1)

r2
m2

M
r3
m3

Como la masa M solo rota, la velocidad de cada masa es vi = ωri.
Al reemplazar en (1) se tiene:
n
n
1
1
E c = ∑ mi (ωri ) 2 = ω 2 ∑ mi ri 2
2
i =1 2
i =1

Quiere decir que, para lograr hacer girar la masa, se necesita
n

Fig. 1. Cuerpo rígido de masa M
que se pretende hacer girar
alrededor del eje e.

1

vencer el efecto queproduce el término

∑m r
i =1

i i

2

, que representa la

oposición de M a girar.

Aplicaciones con áreas curvas requiere que el estudiante domine las técnicas de integración múltiple. La propiedad
puede aplicarse incluso en elementos en los que predomina la longitud con respecto al área; en el Diseño Mecánico
los cordones de soldadura son las aplicaciones más comunes.

1

Por lo tanto, el momento deinercia de tan solo una partícula respecto a un eje será:

I eje = mr 2

(I)

n

Y para un sistema de partículas será:

I eje = ∑ mi ri 2

(II)

i =1

Tratándose de un cuerpo rígido cuya composición física es tal que el tamaño de cada una de
sus partículas es muy pequeña (n → ∞), su momento de inercia respecto a un eje vendrá dado,
en su forma general, por la expresión:

I eje = ∫ r 2 dm

(III)En (III), dm demuestra que el momento de inercia de un cuerpo sólido dependerá de la magnitud
cuya propiedad queremos determinar; en consecuencia, si dm lo expresáramos en términos de
volumen, área o longitud, se puede determinar el momento de inercia respecto a la propiedad
elegida. En nuestro curso nos abocaremos únicamente al cálculo de los momentos de inercia
de áreas y masas.

Momento deInercia de Áreas Planas con respecto a los Ejes x e y
Sea A un área plana cualquiera, de forma geométrica no y
definida (fig. 2). Al adecuar la expresión (III) para áreas
planas, el momento de inercia se calculará ahora
mediante la fórmula:

I eje = ∫ r 2 dA

dA (x; y)

(IV)

A

La cual representa el momento de inercia de A respecto
a un eje perpendicular al área; es decir, respecto al eje
z, el cualse conoce mas bien como momento polar de
inercia (Iz).

r

A partir de este momento de inercia, se conocerá el
momento de inercia del área respecto a los ejes x e y.
De (IV):

(

)

I eje = ∫ x + y dA
2

2

x

O
x

I z = ∫ x dA + ∫ y dA
123 123
2

y

2

Iy

Fig. 2. Área a la que se le calculará los
momentos de inercia Ix e Iy.

Ix

Así entonces:

I x = ∫ y 2 dA

Por lo tanto:

Iz = Ix + Iy...