cap geometria analitica

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La línea recta en el plano
Una vez dotado el plano de un sistema de coordenadas cartesianas xy, las curvas en él
pueden ser descritas a partir de ecuaciones. Se entiende por ecuación para una curva C del
plano una igualdad que ¶
µ involucra las variables x, y de tal manera que dicha igualdad la
x
satisfacen los puntos
de la curva C y solamente ellos. Por ejemplo, una ecuación para
yla circunferencia de centro en el origen y radio r es
°µ ¶°
° x °
°
°
° y °=r

µ ¶
x
del plano pertenece a esa circunferencia si y sólo si cumple dicha
ya que un punto
y
ecuación . Es claro que la ecuación anterior es equivalente a la ecuación
x2 + y 2 = r2

la cual es también, una ecuación para la circunferencia en consideración.
En este capítulo obtendremos distintas ecuacionespara una línea recta en el plano.

3.1

Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas

Una línea recta queda completamente determinada dando dos puntos distintos por donde
ella pasa o también dando un punto sobre ella y un vector geométrico no nulo paralelo a la
−
−
→
recta. Se entiende que un vector no nulo AB es paralelo a una recta L si sus extremos A, B
−
−
→
están sobre L osobre alguna recta paralela a L. Cualquier vector no nulo AB paralelo a
una recta se dirá un vector director de dicha recta.
−→
−
Consideremos una recta L y sean P0 un punto fijo de L y OD un vector director de L.
75

76

3. La línea recta en el plano

Figura 3.1.

−→
−
Vemos que L está conformada por los puntos X tales que el vector P0 X es paralelo al
−→
−
vector OD (ver figura3.1), es decir, L está conformada por los puntos X tales que
−→
−
−→
−
(3.1)
P0 X = tOD, t ∈ R
− → −→ − →
−
−
−
Ahora bien, como P0 X = OX − OP0 entonces (3.1) es equivalente a
−→ − →
−
−
−→
−
OX − OP0 = tOD, t ∈ R
que también podemos escribir como
−→
−
−→ − →
−
−
OX = OP0 + tOD,

t∈R

condición que podemos expresar de manera simplificada, usando vectores algebraicos, en
laforma
X = P0 + tD, t ∈ R.
−→
−
Así, la recta L que pasa por P0 y tiene vector director OD consiste de todos los puntos
X de la forma
(3.2)
X = P0 + tD
con t ∈ R, como se ilustra en la figura 3.2 en la cual se muestran los puntos P0 , P0 + 1 D y
2
P0 + D correspondientes, respectivamente, a t = 0, t = 1 y t = 1.
2

Figura 3.2.

3.1. Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas

77La ecuación (3.2) se dice una ecuación vectorial paramétrica o simplemente una
ecuación vectorial para la recta L; la variable t es el parámetro. A cada valor de t en
R corresponde un punto de L, el punto X = P0 + tD; a valores distintos de t corresponden
puntos distintos de L y al dar a t todos los valores en R se obtienen todos los puntos de la
recta L.
−→
−
En adelante diremosindistintamente que OD es un vector director de L o que D es un
vector director de L.
µ ¶
0
en (3.2), esta
Nótese que si la recta L pasa por el origen entonces tomando P0 =
0
ecuación se reduce a
X = tD

(3.3)

Como dicha recta consta de todos los múltiplos escalares del vector D (ver figura 3.3)
nos referiremos a ella como la recta generada por el vector D.

Figura 3.3.

µ ¶
µ ¶
µ ¶d1
x
x0
y D =
se
Retornemos a la ecuación (3.2). Si en ella X =
, P0 =
y0
d2
y
obtiene
µ ¶
µ ¶ µ ¶
d1
x
x0
+t
=
y0
d2
y
ecuación vectorial que equivale al par de ecuaciones escalares
½

x = x0 + td1
y = y0 + td2

(3.4)

las cuales son llamadas ecuaciones escalares paramétricas o simplemente ecuaciones
µ ¶
µ ¶
d1
x0
y que tiene vector director
.
paramétricas dela recta que pasa por
y0
d2
µ ¶
µ ¶
Ejemplo 3.1
2
3
y tiene vector director D =
. (Figura
Sea L la recta que pasa por el punto P0 =
3
1
3.4).
a) Halle una ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas para L.
b) Halle un punto de la recta L distinto de P0 .
µ
¶
3
c) Use las ecuaciones paramétricas para determinar si el punto
es de L.
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3. La línea recta en el...