Cap Tulo 3 Funci N Exponencial Y Logar Tmica

CAPÍTULO 3
Función Exponencial y Función Logarítmica


3.1) Repaso de propiedades de las potencias
Por su uso e importancia, es necesario revisar las propiedades de las potencias, que se resumen a continuación.


3.2) Función Exponencial

Definición

Sea una función, tal que > 0, , a se le llama función exponencial de base .


La gráfica de una función exponencial depende de la base, asaber:
Caso 1:

. La gráfica presenta la forma siguiente:



Aquí podemos decir que la gráfica de toda función exponencial cuya base sea mayor que uno, tiene las siguientes características:
Su dominio es .
Su ámbito es .
Es biyectiva.
Es estrictamente creciente.
Es asintótica al eje X negativo.
Interseca al eje Y en .
Es cóncava hacia arriba.

Caso 2:

, la gráfica presenta la forma siguiente:



Eneste caso podemos decir que la gráfica de toda función exponencial cuya base sea mayor que cero y menor que uno, tiene las siguientes características:

Su dominio es .
Su ámbito es .
Es biyectiva.
Es estrictamente decreciente.
Es asintótica al eje X positivo.
Interseca al eje Y en .
Es cóncava hacia arriba.

Función exponencial de base

Sea una función, tal que , a se le llama función exponencialnatural.


Recordemos que y es claro que este número es un número irracional, mayor que 1, por lo que su gráfica es semejante a la del caso 1.

3.3) Función Logarítmica
Iniciamos este estudio con un resultado que para todos es claro: Consideremos ahora la pregunta ¿a cuál número debemos elevar el 2 para obtener 256? Para responderla debemos encontrar un número tal que ; de aquí, . En estecaso, diremos que 8 es el logaritmo de 256 en base 2 y escribimos
Es decir que:

Así hallar el logaritmo de un número dado es “encontrar el exponente de una potencia cuyo valor es el número dado”.
Entonces, podemos decir que el logaritmo de base de un número es el exponente al cual debe elevarse para obtener .

En términos generales:



Donde , se llama notación logarítmica y , se llama notaciónexponencial.
Además, es conveniente señalar que las bases más usadas en el trabajo con logaritmos son 10 y ; a los respectivos logaritmos se les llama logaritmos decimales y logaritmos naturales o neperianos. En estos casos se acostumbra no escribir la base, es decir:




Definición

Sea una función, tal que con , , a se le llama función logarítmica.


La gráfica de una función logarítmicadepende de la base, a saber:
Caso 1:

tal que > 1, la gráfica es una parábola de la siguiente forma:


En este caso podemos decir que la gráfica de toda función logarítmica de base mayor que 1 cumple las siguientes características:
Su dominio es .
Su ámbito es .
Es biyectiva.
Es estrictamente creciente.
Es asintótica al eje Y negativo.
Interseca al eje X en .
Es cóncava hacia abajo.

Caso2:

tal que , la gráfica es una parábola de la siguiente forma:



Aquí podemos decir que la gráfica de toda función logarítmica de base mayor que 0 y menor que 1 cumple las siguientes características:
Su dominio es .
Su ámbito es .
Es biyectiva
Es estrictamente decreciente.
Es asintótica al eje Y positivo.
Interseca al eje X en .
Es cóncava hacia arriba.

3.4) Propiedades de los logaritmos
Loslogaritmos tienen varias propiedades que se deducen directamente del hecho de que son los inversos de los exponentes. Estas propiedades permiten convertir los cálculos de multiplicaciones en problemas de sumas, los de divisiones en restas y los de potencias y raíces como multiplicaciones. Así, entonces:




Ejemplos
1) Exprese en forma desarrollada
Solución

2) Exprese como un solo logaritmoSolución


3.5) Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

En las ecuaciones exponenciales la incógnita es un exponente. Se utilizan como modelos matemáticos de crecimiento de poblaciones mundiales, de bacterias y en ciertos estudios de arqueología, presión atmosférica e interés compuesto entre otros.
Desarrollemos un ejemplo de ecuaciones exponenciales. Si representa la población mundial en el...