Cap1 Hiperbolicas

Cap´ıtulo 1
Funciones Hiperb´olicas

En este cap´ıtulo se estudian las funciones hiperb´olicas, las cuales
se definen a partir de las funciones exponenciales. Las funciones
hiperb´olicas cumplen algunas identidades similares a las de las
trigonom´etricas, de ah´ı que reciban el nombre de seno, coseno, etc.
Adem´as de definir estas funciones, se ver´an sus gr´aficos, identidades
principales,funciones inversas y su uso para calcular algunas primitivas de fracciones algebraicas.

Cap´ıtulo 1: Funciones Hiperb´
olicas

1

Definici´
on de las funciones hiperb´
olicas

Definimos las dos funciones siguientes:

ex − e−x
senh x =
2

y

ex + e−x
cosh x =
2

Observe que senh(−x) = − senh x y cosh(−x) = cosh x, lo que indica que senh x es una
funci´on impar y cosh x es par. Adem´as, senh 0 = 0 ycosh 0 = 1.
Ambas funciones son continuas con dominio R y tambi´en son derivables y se cumple que
(senh x) = cosh x y (cosh x) = senh x.

c

II ciclo 2010 S. Rodr´ıguez y A. Soto

2

Cap´ıtulo 1: Funciones Hiperb´
olicas

Por u´ltimo, si se calcula (senh x)2 y (cosh x)2 se obtiene

2

2

2

2

(senh x) = senh x =
(cosh x) = cosh x =

ex − e−x
2
ex + e−x
2

2

2

e2x − 2 + e−2x
=
4
e2x + 2 + e−2x
=4

De estas dos igualdades se obtiene de inmediato la identidad b´asica de las funciones
hiperb´olicas

cosh2 x − senh2 x = 1

c

II ciclo 2010 S. Rodr´ıguez y A. Soto

(1)

3

Cap´ıtulo 1: Funciones Hiperb´
olicas

Una vez definidas las funciones seno y coseno hiperb´olicos, se definen la tangente, cotangente, secante y cosecante hiperb´olicas, utilizando las mismas relaciones algebraicas desus
hom´ologas trigonom´etricas:
senh x
cosh x
cosh x
coth x =
senh x

tanh x =

1
cosh x
1
=
senh x

sech x = (cosh x)−1 =
csch x = (senh x)−1

Para resolver algunos ejercicios es conveniente poder escribir las funciones hiperb´olicas de
dos maneras, con o sin el t´ermino e−x. Por ejemplo, en el caso de senh x y cosh x escribimos:
e2x − 1
ex − e−x
senh x =
=
2
2ex

c

II ciclo 2010 S. Rodr´ıguez yA. Soto

y

ex + e−x
e2x + 1
cosh x =
=
2
2ex

4

Cap´ıtulo 1: Funciones Hiperb´
olicas

Actividad 1. Determine las expresiones que definen tanh x, coth x, sech x y csch x, as´ı
como sus expresiones sin el t´ermino e−x.

Funci´
on hiperb´
olica

Expresi´
on con ex y e−x

Expresi´
on sin e−x

ex + e−x
ex − e−x

e2x + 1
e2x − 1

tanh x =
cosh x
coth x =
senh x
sech t =
csch x =

c

II ciclo 2010 S.Rodr´ıguez y A. Soto

5

Cap´ıtulo 1: Funciones Hiperb´
olicas

2

L´ımites que involucran funciones hiperb´
olicas

Usando directamente la definici´on en t´ermino de exponenciales, se pueden calcular los
l´ımites al infinito de las funciones hiperb´olicas. En algunos casos son u´tiles las expresiones
sin t´ermino e−x que se calcularon anteriormente.
Por ejemplo
e2x − 1
lim tanh x = lim 2x
x→∞x→∞ e + 1
e2x(1 − e−2x)
=1
= lim 2x
x→∞ e (1 + e−2x )

Actividad 2. Muestre que lim coth x = −1.
x→−∞

✬

✩

Soluci´
on:

✫

c

II ciclo 2010 S. Rodr´ıguez y A. Soto

✪

6

Cap´ıtulo 1: Funciones Hiperb´
olicas

Actividad 3. Determine si existe lim csch x.
x→0

✬

✩

Soluci´
on:

✫

✪

¡Es su turno!
Usted est´a en capacidad de calcular los dem´as l´ımites necesarios para construir las gr´aficas
de lasfunciones hiperb´olicas en las Fig. 1 y 2 que aparecen en la pr´oxima p´agina. Para
esbozar estas gr´aficas se hizo uso de las caracter´ısticas y las propiedades de las funciones
exponenciales ex y e−x.

c

II ciclo 2010 S. Rodr´ıguez y A. Soto

7

Cap´ıtulo 1: Funciones Hiperb´
olicas

3

Gr´
aficas de las funciones hiperb´
olicas

·
·· ··
·
·
·
·
·
y=
··
·
·
·
····= senh x
·
·
y
·
·
·······
··
·
·
····
·
·
·
···
y=
·
·
·
·
·
·····
·
··
··
··
·
··
··
··
·
·
··
ex
··
····
2
····
·
·
·
·
·····
·····
······
·······
·
·
·
·
·
·
·
····
···········
················
·····································
····································
·················
···········
········
·
·
·
·
·
·
······
······
·····
·····
·
·
·
·
−e−x
····
···
··
2
·
·
··
··
·
·
··
··
··
·
··

···
···
····
·...