Cap16 Func Trigon

Moisés Villena Muñoz

Funciones Trigonométricas

16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5

ANGULO
FUNCIÓN SENO Y FUNCIÓN COSENO
FUNCIÓN TANGENTE
VALORES DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS
CONOCIDOS
IDENTIDADES

TRIGONOMÉTRICAS.

Existen expresiones algebraicas que contienen funciones trigonométricas, que para
simplificarlas hay que conocer y usar sus propiedades, identidades y valores conocidos.

368Moisés Villena Muñoz

Funciones Trigonométricas

OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina ángulo.
 Defina función acotada, función periódica, funciones trigonométricas para ángulos en general.
 Aplique las identidades trigonométricas básicas para determinar si ciertas expresiones trigonométricas dadas son
identidades o no.
 Represente en el plano cartesiano el gráfico de lasfunciones trigonométricas básicas.

16.1 ÁNGULO.
ÁNGULO es la abertura que existe entre 2

semirectas que tienen un punto común de
intersección.
Esquemáticamente tenemos:

Se lo puede denotar de
la siguiente manera

También se suele emplear
letras del alfabeto griego

16.1.1 PATRÓN DE MEDIDA

La MEDIDA DE UN ÁNGULO es la cantidad
de rotación que tiene que realizar el lado
inicial para coincidir con ellado terminal.
Si consideramos la rotación en sentido contrario al de las manecillas
del reloj diremos que el ángulo es POSITIVO; en cambio, si lo medimos en
sentido horario diremos que el ángulo es NEGATIVO.
La medida de un ángulo se la expresa en:
 GRADOS (patrón referencial); y/o
 RADIANES (patrón de números reales)

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Moisés Villena Muñoz

Funciones Trigonométricas

Para realizarconversiones consideremos la equivalencia básica:

180  = π

R adianes

A manera de ejemplos, como derivación de esta equivalencia
tenemos:
GRADOS

RADIANES



π



π



60

π

90

π

150

5π
6

180

π
7π
6
3π
2
5π

30

6

45

4
3
2



210

270
300

3


330

11π
6

360

2π

135 

Completar

120
225
315

16.2 FUNCIÓN SENO Y FUNCIÓN COSENO
La regla de correspondencia para la función seno es f( x ) = sen x , y
para la función coseno f ( x ) = cos x , donde x denota un ángulo.
Para tabular valores de estas funciones, y realizar las gráficas
respectivas, recurrimos a un círculo unitario, centrado en el origen.
Note que aquí
la variable
independiente “ x ” representa a un
ángulo

En cada posición de giro del radio vector
(ángulo “ x ”) , la ABCISA del vértice indica
el valor del COSENO yla ORDENADA indica el
valor del SENO. ¿P OR QUÉ?

370

Moisés Villena Muñoz

Funciones Trigonométricas

Para las coordenadas del vértice del radio vector en ángulos
(posición) estratégicos tenemos:
x

sen x
0 = sen 0
π 
1 = sen 
2
0 = sen π
 3π 
− 1 = sen 
 2 
0 = sen 2π

0

π

2

π

3π
2
2π

x

cos x
1 = cos 0
π 
0 = cos 
2
− 1 = cos π
 3π 
0 = cos 
 2 
1 = cos 2π

0

π2

π

3π
2
2π

CONCLUSIONES:


Dom (sen x ) = Dom (cos x ) = IR

 Las gráficas son

ONDAS SENOIDALES.

 Sus gráficas presentan

SIMETRÍA.

El seno es una función impar. Por tanto sen(− x) = − sen x
El coseno es una función par. Por tanto cos(− x ) = cos x

 Son

FUNCIONES PERIÓDICAS,

con período T = 2π .

Una FUNCIÓN ES PERIÓDICA si y sólo si f ( x ± T ) = f ( x )
Por tanto sen( x ± T ) =sen( x ) y cos( x ± T ) = cos( x )

 Son FUNCIONES ACOTADAS.

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Moisés Villena Muñoz

Funciones Trigonométricas
Una FUNCIÓN ES ACOTADA si y sólo si ∀x[n ≤ f ( x ) ≤ m ]

[

]

Note que rg = (sen x ) = rg cos x = − 1,1 , es decir:
−1 ≤ sen x ≤ 1 ∧ −1 ≤ cos x ≤ 1

OPCIONAL
Estas conclusiones son válidas para las funciones en su forma elemental, pero piense cuales
serían las características de lasgráficas de:


y = 2 sen x .
Generalice



y = A sen x

y = sen( x − π6 ) .
Generalice para



donde

A ≡ amplitud

y = sen( x ± Φ )

donde

Φ ≡ desfase

y = sen(2 x ) .
Generalice para

y = sen ω x

donde

ω ≡ frecuenci a angular

Finalmente, las reglas de correspondencia de la función seno y de la función coseno pueden
ser generalizadas de la siguiente forma:

y = A sen(ω ( x ± Φ )) donde...