Cap2 05

´Indice general
1. L´ımites y continuidad
1.1. Los n´
umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. La aritm´etica de los n´
umeros reales: axiomas de cuerpo . . . .
1.1.2. Comparaci´on de los n´
umeros reales: axiomas de orden . . . . .
1.1.3. Resoluci´on de desigualdades o inecuaciones . . . . . . . . . . .
1.1.4. Una distancia en R: el valor absoluto . . . . .. . . . . . . . . .
1.1.5. La continuidad de R: el axioma del supremo . . . . . . . . . . .
1.2. L´ımites de funciones num´ericas de variable discreta. . . . . . . . . . .
1.2.1. Las variables discretas y el conjunto N . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Divergencia de sucesiones hacia ±∞ . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4.Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Las funciones num´ericas de variable continua . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Definiciones b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Representaci´on gr´afica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Ejerciciosresueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. L´ımites de funciones num´ericas de variable continua . . . . . . . . . .
1.4.1. L´ımites finitos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. L´ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. L´ımites finitoscuando la variable independiente crece o decrece
definidamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4. Las funciones circulares o trigonom´etricas . . . . . . . . . . . .
1.4.5. Definici´on de las funciones circulares o trigonom´etricas . . . . .
1.4.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
1.5. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Definiciones b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i

. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
in. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

1
1
1
11
16
29
40
56
56
58
69
77
95
99
99
105
108
123
127
127
134.
.
.
.
.
.
.

135
142
144
171
189
192
192

1.5.2.
1.5.3.
1.5.4.
1.5.5.
1.5.6.

Continuidad de funciones elementales
Discontinuidades removibles . . . . . .
Propiedades de las funciones continuas
Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . .
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

195
196
197
202
215

2. Laderivada y sus aplicaciones
2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Definici´on y f´ormulas b´asicas de la derivada . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Definiciones b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. F´ormulas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Las derivadas de las funciones trigonom´etricas . . . . . .
2.2.4. Lasderivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Propiedades de las funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Teoremas principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Derivadas de las inversas de las funcionestrigonom´etricas
2.3.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Aplicaciones I: La regla de L’Hˆopital . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Aplicaciones II: Gr´aficos de funciones . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Aplicaciones III: An´alisis de curvas en el plano . . . . . . . . . .
2.6.1. Elementos...