Cap2

Apuntes para Clases
Curso : Probabilidades MA – 442 Ingeniería Civil
Profesor : Raúl Zhigley C.

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DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA
Una variable aleatoria X es una variable aleatoria uniforme si cada uno de los n valores
que están en el rango de ésta, x1 , x 2 ,..., x n tiene la misma probabilidad. Entonces,
f x (x ) =

1
n

EJEMPLO: La probabilidad de que el primer dígito del número de serie deuna pieza
sea uno de los números desde 0 hasta 9, es la misma. Si se toma una pieza al azar de un
lote muy grande, y X es el primer dígito del número de serie, entonces X tiene una
distribución discreta uniforme con una probabilidad 0.1 para cada valor de
R = {0,1,2,....,9}. Esto es,
f x ( x) = 0.1
para cada valor de R.

Figura: Función de probabilidad para la variable aleatoria discreta
uniformedel ejemplo.

Supóngase que X es una variable aleatoria discreta uniforme sobre los enteros
consecutivos a, a + 1, a + 2,..., b, con a ≤ b .

La media de X es

µ X = E ( X ) = (b + a ) / 2

La desviación estándar de X es

σX =

(b − b + 1)2 − 1
12

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EJEMPLO: En el ejemplo, supóngase que elnúmero de líneas de voz que están
ocupadas en un determinado momento, es una variable aleatoria discreta uniforme X.
Entonces,

E ( X ) = (0 + 48) / 2 = 24
y

{[

] }

σ X = (48 − 0 + 1)2 − 1 / 12

/2

= 14.14

EJEMPLO: En el ejemplo, sea la variable aleatoria y la proporción de las 48 líneas de
voz que están ocupadas en un determinado momento. Recuerde que pueden estar en uso
desde 0 hasta 48 líneas.Sea X el número de líneas que están ocupadas en un momento
en particular.
Entonces, Y = X / 48 . Por consiguiente,
E (Y ) = E ( X ) / 48 = 0.5
y
V (Y ) = V ( X ) / 48 2 = 0.087

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Un ensayo Bernoulli es un experimento aleatorio que tiene sólo dos resultados posibles,
denotados por “éxito” y “fracaso”. La probabilidad de un éxito se denota por p.
Un experimento aleatorio queconsiste en n ensayos repetidos tales que:
(1) Los ensayos son independientes
(2) Cada ensayo tiene sólo dos resultados posibles, denominados “éxito” y
“fracaso”,
(3) La probabilidad de “éxito” en cada ensayo, denotada por p, permanece
constante.
Recibe el nombre de experimento binomial.
La variable aleatoria X que es igual al número de ensayos donde el resultado es
“éxito”,tiene una distribuciónbinomial con parámetros p y n.
La función de probabilidad de X es:
⎛n⎞
n− x
f X ( x; , p, n ) = ⎜⎜ ⎟⎟ p x (1 − p ) , x = 0,1,2,...., n
⎝ x⎠

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EJEMPLO: La probabilidad de recibir de manera errónea un bit transmitido por un
canal de transmisión digital, es 0.1. Además, supóngase que los ensayos detransmisión
son independientes. Sea X = número de bits recibidos con error en los próximos cuatro
que serán transmitidos.
Descríbase el espacio muestral de este experimento e indíquese el valor de X en cada
resultado. Calcúlese P( X = 2) .
En este experimento se indica con E un bit erróneo, y con C un bits sin error, esto es,
recibido correctamente. Con esto, el espacio muestral de esteexperimento puede
describirse como una lista de cuatro que indican qué bits fueron recibidos con y sin
error. Por ejemplo, el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son
erróneos, y los otros dos se recibieron correctamente.
Por consiguiente, el espacio muestral es
Resultado

X

Resultado

X

CCCC
CCCE
CCEC
CCEE
CECC
CECE
CEEC
CEEE

0
1
1
2
1
2
2
3

ECCC
ECCE
ECEC
ECEE
EECC
EECE
EEEC
EEEE

1
22
3
2
3
3
4

El evento en que X = 2 está formado por seis resultados:
{EECC, ECEC, ECCE, CEEC, CECE, CCEE}
Si se hace uso de la hipótesis de que los ensayos son independientes, entonces la
probabilidad de {EECC} es
P (EECC ) = P (E )P (E )P (C )P (C ) = (0,1) (0.9 ) = 0.0081
2

2

Por otra parte, la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados
mutuamente excluyentes para...