Cap22

Cap´ıtulo 22

Espacio de Funciones
Medibles
Igual que la σ-´algebra de los conjuntos medibles, la familia de funciones medibles, adem´as de contener a todas las funciones “razonables”(por supuesto
son medibles todas las continuas, las integrables en el sentido de Riemann
etc.), goza de muy buenas propiedades algebraicas, que nos proponemos estudiar en este cap´ıtulo. Antes vamos a generalizar ladefinici´
on de funci´on
medible dada en el cap´ıtulo anterior.

Definiciones y ejemplos
De las tres definiciones equivalentes de funci´on medible no negativa que
proporciona el teorema 21.7, la que resulta m´as c´omoda para trabajar con
ella es la (ii). Nosotros vamos a adoptar esta definici´
on para extender el
concepto de funci´on medible al caso general de funciones con signo variable
y cuyodominio de definici´on pueda ser un subconjunto propio de Rn .
Definici´
on 22.1 Sea B un conjunto medible de Rn y f una funci´on con
valores en R, cuyo dominio de definici´on contiene a B. Se dir´a que f es
medible sobre B o que f|B es medible si, para cada α ∈ R, el conjunto
{x ∈ B : f (x) > α} es medible.
Consecuencia directa de la definici´on es la siguiente proposici´on
Proposici´
on 22.2 SeanB1 , B2 conjuntos medibles contenidos en el dominio de una funci´on f .
215

216

Espacio de Funciones Medibles

22.2

(a) Si B1 ⊂ B2 y f|B2 es medible, entonces f|B1 tambi´en es medible.
(b) f|B1 ∪B2 es medible si y s´olo si f|B1 y f|B2 son medibles.
Demostraci´
on. Es inmediato.
Ejemplos 22.3 El primer ejemplo de funci´on medible que hemos visto es el
de funci´on simple. De la caracterizaci´ondada para las funciones medibles,
es inmediato comprobar que tambi´en va a ser medible cada funci´on continua
y m´as precisamente,
1. Sea f una funci´on definida sobre el conjunto medible B. Supongamos
que el conjunto D(f ) de los puntos de discontinuidad de f es de medida
nula, entonces f es medible sobre B.
En efecto, denotemos por C(f ) al conjunto de puntos de continuidad de f
(C(f ) esmedible, pues C(f ) = B \ D(f )). Como hip´otesis se tiene entonces
que f|C(f ) es continua. Veamos que {x ∈ B : f (x) > α} es un conjunto
medible.
{x ∈ B : f (x) > α} = {x ∈ C(f ) : f (x) > α} ∪ {x ∈ D(f ) : f (x) > α}.
El conjunto
{x ∈ C(f ) : f (x) > α} = f|−1 (α, +∞]
C(f )

es, debido a la continuidad de f|C(f ) , abierto en el subespacio C(f ), es decir
que
{x ∈ C(f ) : f (x) > α} = O ∩ C(f ),donde O es un abierto de Rn , luego es un conjunto medible. Como D(f ) es de
medida nula, se deduce ya lo que quer´ıamos, es decir que {x ∈ B : f (x) > α}
es un conjunto medible. En particular, se deduce de lo anterior que
2. Toda funci´on Riemann integrable sobre un intervalo [a, b] es medible
sobre ´el.
Por el teorema de Lebesgue de caracterizaci´on de las funciones Riemann
integrables, sabemos queestas funciones son continuas salvo en un conjunto
de medida cero, luego son medibles.
3. Existen funciones medibles que no son continuas en ning´
un punto

22.3

Espacio de Funciones Medibles

217

Quiz´as la m´as famosa de estas funciones sea la “funci´on de Dirichlet”, f =
XQ , es decir la funci´on que vale 1 sobre los racionales y 0 sobre los irracionales
(O mejor, su restricci´on a unintervalo acotado, g = XQ∩[a,b] ). g es una
funci´on simple, luego es medible, siendo g = m(Q ∩ [a, b]) = 0.
Observemos que g constituye un ejemplo de una funci´on cuya integral
en el sentido de Lebesgue existe, pero no as´ı en el de Riemann, ya que es
discontinua en todo punto y por tanto no es R-integrable.
Como antes con los conjuntos no medibles, la presencia en la Teor´ıa de
Conjuntos del Axiomade Elecci´on hace que tambi´en existan funciones no
on entre conjuntos
medibles. De hecho se puede establecer la siguiente relaci´
y funciones (no) medibles:
3. Un conjunto B es medible si y s´olo si la funci´on XB es medible.
En efecto, si B es medible entonces XB es una funci´
on simple y, por tanto,
medible. Rec´ıprocamente si XB medible entonces B = {x : XB (x) > 0} es
medible.

Aritm´
etica...