Cap23

8

Cap´ıtulo 2: Soluci´on Num´erica de E.D.O.

2.3

M´
etodo de Runge-Kutta.

En esta secci´on nos limitamos a describir uno de los m´etodos de tipo Runge-Kuttam´as utilizados
en la pr´actica y cuyo orden de convergencia es 4 (lo que equivaldr´ıa a utilizar un m´etodo basado
en el desarrollo de Taylor hasta h4 ). Estem´etodo suele denominarse m´etodo de Runge-Kutta cl´asico.
El m´etodo se describe como sigue:
y0 = y (a)
para k = 0, 1, ....
yk+1 = yk + h6 (K1 + 2K2 + 2K3 + K4 )(2.5)

donde las cantidades Ki se calculan de forma sucesiva como sigue:
K1
↓
K2
↓
K3
↓
K4

= f (xk , yk )
= f xk + h2 , yk + h2 K1
(2.6)
= f xk +

h
, yk
2

+

hK
2 2

= f (xk + h, yk + hK3 )

Ejemplo 2.3
Se considera el problema de Cauchy o de valores iniciales:
y = x2 y
y(0) = 1(cond.inicial)
Utilizamos el m´etodo deRunge-Kutta con paso h = 0.2 e intervalo de definici´on de la soluci´on el
x3
[0, 1]. Comparamos con la soluci´on exacta, y(x) = e 3 .
Soluci´
on
La tabla devalores para este problema usando el m´etodo dado en (2.5) es la siguiente:
Puede observarse la mayor precisi´on que este m´etodo consigue a´
un siendo, el paso usado,el doble
que el usado en el Ejemplo 2.2 con paso h=0.1.

Apuntes de J. Lorente

9

k Nodos xk
0
0
1
0.2
2
0.4
3
0.6
4
0.8
5
1.

yk ≈ y(xk ) valores y(xk )
1.
1.1.00267
1.0026702
1.0215621
1.0215625
1.0746546
1.0746553
1.1860939
1.1860953
1.3956078
1.3956124

Errores
0.
-2.23×10−7
-4.55 ×10−7
-7.56 ×10−7
-1.46 ×10−6
-4.58×10−6

Tabla 2.3: Valores generados por Runge-Kutta con h = 0.2

1.4
1.3
1.2
1.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 2.6: Soluci´on num´erica y exacta del p.v.i.