cap3 08a

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL

520142
Primer Semestre

FUNCIONES (1)
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Universidad de Concepción
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Relaciones Binarias
RELACION
Dados dos subconjuntos arbitrarios A y B no vacíos, una
relación binaria R es una correspondencia entre los elementos
de A y B, la cual se representa por un subconjunto de pares
ordenados R ⊆ A ×B.
Si (a, b) ∈ R diremos que a está relacionado con b y escribiremos aRb:
aRb ⇐⇒ (a, b) ∈ R

El conjunto {(a, b) : (a, b) ∈ R} forma la representación gráfica de R.
Dominio de R:

Dom(R) = {a ∈ A : ∃ b ∈ B ∧ (a, b) ∈ R}

Recorrido de R: Rec(R) = {b ∈ B : ∃ a ∈ A ∧ (a, b) ∈ R}
La representación R−1 = {(b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ R} define la relación
inversa de R, y se denota R−1 .

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RelacionesBinarias
EJEMPLOS
Sea R la relación cuya representación está dada por:
R = {(2, 1), (2, 2), (2, 3)}.
Dom(R) = {2},

Se tiene que

Rec(R) = {1, 2, 3}.

Para A = {1, 2, 3} y B = {1, 4}, sea R la relación definida por
aRb

⇐⇒

a + b ≤ 5,

Así R = {(1, 1), (1, 4), (2, 1), (3, 1)},
R definida por:

aRb

⇐⇒

a ∈ A, b ∈ B.

Dom(R) = A,

Rec(R) = B.

a2 + b2 ≤ 1

R = {(a, b) ∈ R×R : a2 +b2 ≤ 1}, Dom(R) =[−1, 1], Rec(R) = [−1, 1].
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Funciones
FUNCION
Diremos que la relación R representada por R ⊆ A × B, es una
función f de A en B, si y sólo si:
se escribirá
y = f (x).

 f : A −→
B
La relación f se describe por

x −→ y = f (x)
Notación:

xRy

∀ x ∈ A, ∃ ! y ∈ B : (x, y) ∈ R

y

(variable dependiente)

es la IMAGEN de x a través de f

x

(variable independiente) es una PRE-IMAGEN de y porf

ADOMINIO de f

A = Dom(f )

B

CODOMINIO de f

B = Cod(f )

R

GRAFICO de f

Gr(f ) = {(x, y) ∈ A × B : y = f (x)}.
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Funciones
Igualdad de Funciones
Decimos que las funciones
f : A −→ B

x −→ f (x) = y

y

g:C

−→ D

x −→ g(x) = y

son iguales, si tienen igual dominio, igual codominio y son iguales punto
a punto en la imagen. Esto es:
f =g

⇐⇒

[(A = C)

∧

(B = D)]

∧

(∀x ∈ A :

f (x) = g(x))

5Funciones
Conjunto Imagen
Sea f : A −→ B una función y X ⊆ A.
La imagen de X por f se define por:
f (X) = {y ∈ B : ∃ x ∈ X, y = f (x)}
= {f (x) : x ∈ X}

Notación:

Rec(f ) = f (A)

Imagen Recíproca o Pre-Imagen
Sea f : A −→ B una función y Y ⊆ B.
La pre-imagen o imagen recíproca de Y por f se define por:
f −1 (Y ) = {x ∈ A : ∃ y ∈ Y , y = f (x)}
= {x ∈ A : f (x) ∈ Y }

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Funciones
AlgunasPropiedades de f (X) y f −1 (Y )
Sea f : A −→ B una función, X ⊆ A y Y ⊆ B.
˜ ⊆ A =⇒ f (X) ⊆ f (X)
˜
X ⊆X
f (X
f (X

˜ ⊆ f (X)
X)
˜ = f (X)
X)

˜
f (X)

˜
f (X)

f −1 (B) = A
Y ⊆ Y˜ ⊆ B =⇒ f −1 (Y ) ⊆ f −1 (Y˜ )
f −1 (Y

Y˜ ) = f −1 (Y )

f −1 (Y˜ )

f −1 (Y

Y˜ ) = f −1 (Y )

f −1 (Y˜ )

f −1 (f (X)) ⊇ X
f (f −1 (Y )) ⊆ Y
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Funciones
Función Sobreyectiva
Una función f : A −→ B es sobreyectiva si ysólo si :
f (A) = B ,

(es decir, Rec(f ) = B)

∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A : f (x) = y

En términos de resolver una ecuación :

 la ecuación f (x) = y
∀y ∈ B :
 admite solución en A
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Funciones
Función Inyectiva
Una función f : A −→ B es inyectiva si y sólo si :
∀y ∈ f (A), ∃ ! x ∈ A : f (x) = y

∀x1 , x2 ∈ A : f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2

∀x1 , x2 ∈ A : x1 = x2 =⇒ f (x1 ) = f (x2 )

∀ y ∈ f (A) :la ecuación f (x) = y
tiene solución única en A

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Funciones
Observación
f : A → B no es inyectiva ⇐⇒ ∃ x1 , x2 ∈ A : x1 = x2 ∧ f (x1 ) = f (x2 )
Función Biyectiva
Una función f : A −→ B es biyectiva si y sólo si es inyectiva y
sobreyectiva, es decir:
∀y ∈ B, ∃ ! x ∈ A : f (x) = y

∀y ∈ B :

la ecuación f (x) = y
tiene solución única en A
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Funciones
Función Inversa
Sea f : A −→ B una funciónbiyectiva.
La función

g:B
y

−→ A

−→ g(y) = x, donde

g(y) = x si y sólo si f (x) = y
se llama función inversa de f y se escribe g = f −1 .

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Funciones Reales
Observación
A funciones f : A ⊆ R −→ B ⊆ R les llamaremos Funciones Reales.
Observación

Dada una relación R, nos interesa encontrar el mayor

subconjunto A de R de modo que R sea una función f con Dom(f ) = A,
es decir,
f : Dom(f...