Cap3 II13 1 _al Copia

520131
ALGEBRA LINEAL
Carrera: Ing. Ambiental
Segundo Semestre 2013, Universidad de Concepción

CAPITULO III.
ESPACIOS VECTORIALES CON
PRODUCTO INTERIOR
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
Facultadde Ciencias Físicas y Matemáticas
1

Espacios Vectoriales con Producto Interior
1.- Producto Interior. Definición y Propiedades
Definición

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K (R o C). Sedice que una aplicación ·, · : V × V → K define un producto interior
(producto escalar) sobre V si satisface las siguientes propiedades:
α u + β v, w = α u, w + β v, w ,
∀ α, β ∈ K, ∀ u, v, w ∈ V .
u,v

=

v, u ,

v, v ≥ 0,

∀ u, v ∈ V .

∀ v ∈ V.

v, v = 0 si y sólo si v = θ.
Observación Notar que la segunda propiedad implica que
v, v ∈ R , y por lo tanto tiene sentido la tercera propiedad.

∀v∈ V :

2

Espacios Vectoriales con Producto Interior
Observación Un e.v. V sobre un cuerpo K (R o C), provisto de un
producto interior ·, · se llama un espacio vectorial con producto
interior(e.v.c.p.i.) y se denota ( V, ·, · ).
Ejemplos
El producto punto de R3 visto en el capítulo 1 es un producto
interior.
(x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) := x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .
En general, en el e.v. real Rnse define

·, · : Rn × Rn → R por

n

xj yj

x, y :=

∀ x := (x1 , ..., xn ), y := (y1 , ..., yn ) ∈ Rn .

j=1
3

Espacios Vectoriales con Producto Interior

En el e.v. real V := Mm×n (R) se defineA, B := tr (B t A),

·, · : V × V → R por

∀ A, B ∈ V ,

n

donde

cjj ,

tr (C) :=

∀ C := (cij ) ∈ Mn×n (R).

j=1

En el e.v. complejo Cn se define

·, · : Cn × Cn → C por

n

∀ x := (x1 , ..., xn), y := (y1 , ..., yn ) ∈ Cn .

xj y¯j

x, y :=
j=1

En el e.v. real V := C[a, b] := { f : [a, b] → R / f es continua } se
define ·, · : V × V → R por
b

f, g :=

f (x) g(x) dx,

∀ f, g ∈ V.

a
4Espacios Vectoriales con Producto Interior
TEOREMA (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)

Sea ( V, ·, · ) un

e.v.c.p.i. sobre un cuerpo K (R o C). Entonces se satisface
| v, w | ≤
Definición

v, v

w, w...