Cap3 II13 2 _al Copia

520131
ALGEBRA LINEAL
Carrera: Ing. Ambiental
Segundo Semestre 2013, Universidad de Concepción

CAPITULO III.
ESPACIOS VECTORIALES CON
PRODUCTO INTERIOR
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
Facultadde Ciencias Físicas y Matemáticas
1

Espacios Vectoriales con Producto Interior
3.- Proceso de Gram-Schmidt. Bases Ortogonales.
TEOREMA (Ortogonalización de Gram-Schmidt)
Sea ( V, ·, · ) une.v.c.p.i. sobre un cuerpo K (R o C), y sea {u1 , ..., un } ⊆
V un conjunto l.i.. Se definen, recursivamente, los siguientes vectores
v1 := u1
k−1

vk := uk −
j=1

uk , vj
vj 2

vj

∀ k ∈ {2, ..., n}.

Elconjunto {v1 , ..., vn } así definido es ortogonal en V , y
{u1 , ..., un }

=

{v1 , ..., vn } .

2

Espacios Vectoriales con Producto Interior
Corolario
Sea ( V, ·, · ) un e.v.c.p.i. de dimensiónfinita sobre un cuerpo K
(R o C). Entonces existe una base ortonormal de V .

Complemento Ortogonal
Sea ( V, ·, · ) un e.v.c.p.i. sobre un cuerpo K (R o C), y sea W ⊆ V . Se
define el complementoortogonal (o simplemente ortogonal) de W , y
se denota W ⊥ , como el conjunto
W ⊥ := { v ∈ V :

v, w

= 0

∀w ∈ W }.

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Espacios Vectoriales con Producto Interior

TEOREMA
Sea ( V, ·, · ) un e.v.c.p.i.sobre un cuerpo K (R o C), y suponga que V
es de dimensión finita. Entonces
{θ}⊥ = V
∀W ⊆ V :

y

V ⊥ = {θ}.

W ⊥ es un subespacio de V.

∀W ⊆ V :
W ⊥ = W ⊥ , donde W es el subespacio
generado por W (c.l.finitas de elementos de W ).
∀ subespacio S de V :

( S ⊥ )⊥ = S

y

S ∩ S ⊥ = { θ }.

4

Espacios Vectoriales con Producto Interior

TEOREMA (Descomposición Ortogonal)
Sea ( V, ·, · ) un e.v.c.p.i.sobre un cuerpo K (R o C), y suponga que V
es de dimensión finita. Entonces para todo S subespacio de V :
V = S ⊕ S⊥.
Ejemplo
En el e.v. real R3 con el p.i. usual, considere el plano
W := { (x, y, z)∈ R3 : ax + by + cz = 0 }.
Entonces W es un subespacio de dimensión 2 de R3 .
Además, se tiene
R3 = W ⊕ W ⊥ ,
5

Espacios Vectoriales con Producto Interior
donde W ⊥ es la recta que pasa por el...