cap6 prac parte3

Caso 3:
y

ax

2

En la ecuación general
 c,

y

ax 2  bx  c ,

a z 0

y

0 , obtenemos

b

a z0.

Solución
10

y=x2 El

8

y

gráfico

4

que el de y

-1

3

mismo

que

el

de

x 2  1 , su gráfico es el mismo

x 2 desplazado 1 unidad hacia abajo.

En general, a partir del gráfico de y

y=x2-1
2

el

x desplazado 2 unidades hacia arriba.

Si a = 1 y c = -1 queda y

1

es

2

parábola y
3 -2-1

x2  2 ,

de y

6

2

x2  2 .

Por ejemplo si a = 1 y c = 2 obtenemos y

y=x2+2

ax 2 se puede trazar la

x 2  c , trasladando c unidades hacia arriba la

curva y ax 2 , si c es positivo. Y c unidades hacia abajo, si c
es negativo.

El vértice es V(0, c), y el eje de simetría es x = 0.
Para y x 2  2 , el vértice es V(0, 2), el dominio es R y la imagen el conjunto de los números
realesmayores o iguales que 2.
Para y x 2  1 , el vértice es V(0, -1), el dominio es R y la imagen el conjunto de los números
reales mayores o iguales que -1.
Comparamos en una tabla algunos valores las funciones y
función y

x2  2 e y

x 2  1 con los de la

x2 .

x
y=x2
y=x2+2
y=x2-1
Caso 4: La función: y

-3
9
11
8

-2
4
6
3

-1
1
3
0

x  22 , es otra

0
0
2
-1

1
1
3
0

variación de y

2
4
6
3

3
911
8

x2.

Solución
Observamos que su gráfico se obtiene trasladando 2 unidades a la derecha el gráfico de
y

x2 ,

convierten en los puntos
curva se ubica en ( 2, 0).
5

1,1 ;  0, 0 ;  1,1 que satisfacen y x 2 se
 1,1 ;  2, 0 ;  3,1 que satisfacen y x  22 . El vértice de la nueva

es decir por ejemplo los puntos

y

La gráfica de y

y = ( x -2)2

4

de la de y

x  h 2 seobtiene

x 2 trasladándola h

3

en dirección del eje x.

2

Si h > 0, se traslada a la izquierda.
Si h < 0, se traslada a la derecha.

1

-1

1

2

3

4

5

xx

-1

Notar que ( x  2) 2 es equivalente al polinomio de segundo grado x 2  4 x  4 .

144

Caso 5: Dadas las coordenadas del vértice V(-1, -5) y sabiendo que la parábola debe tener la

misma forma que y x 2 veamos
cómo trazar la gráfica de lanueva
parábola.
Solución
En primer lugar trasladamos
y x 2 una unidad a la izquierda,
es decir llevamos el vértice al
punto (-1, 0).
Corresponde a la parábola de
ecuación

x   1

y

2

x  1

2

y= (x+1)

y
2

y= x

2

2

x

Luego, y x  12 la trasladamos
5 unidades hacia abajo

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-2

La ecuación será y x  12  5
El vértice se ubica en el punto
(-1,-5) y eleje de simetría es la
recta vertical de ecuación
x 1.

2

y= (x+1) -5
-4

-6

Ceros de una función y = f(x) son las abscisas de los puntos intersección de la función
con el eje x. Haciendo y = 0 se obtienen los ceros o raíces de la ecuación.

Determinamos los ceros de la función cuadrática y
0
5

( x  1) 2  5

Ÿ

x 1 ó

- 5

5

( x  1) 2 Ÿ 5

f x 

x  12  5

x  1 de donde

x  1 porlo tanto los ceros son x 1

5  1 y x2

 5 1

x1 y x2 son los puntos de corte de la parábola con el eje x. Puede verificarlos en el gráfico.
Calculando f(0), se determina el punto de corte de la parábola con el eje y.

f 0  0  12  5 1  5 4 .
Es decir la gráfica pasa por (0,-4), también se puede determinar el simétrico de este punto que
es (-2,-4).

Conocer los puntos de corte de lafunción con los ejes ayuda a construir
la gráfica.
Caso 6: Parábolas de ecuación: y

f x 

a  x  h 2  k

Si la función cuadrática viene expresada en la forma
Resumen

y f  x  a  x  h 2  k
las coordenadas del vértice son V(h, k).
El eje de simetría es x h .
Si a ! 0 , la parábola es cóncava hacia arriba, si a  0 , es
cóncava hacia abajo.

145

Ejercicio graficar y

2 x  22  6 .

Tener encuenta que será una parábola de la misma forma que y

2 x 2 . Pero el vértice es:

V(2, 6) por lo tanto debe trasladar adecuadamente y 2 x 2 .
¿Tiene puntos de corte con el eje x ? ¿Cuál es el punto de corte con el eje y ?

Caso 7: Representación de la función cuadrática dada por la fórmula completa
y ax 2  bx  c , a z 0 , b z 0 , c z 0
Se puede utilizar el método de completar cuadrados y...