Capacidades Calorificas

LABORATORIO DE ESTADO SÓLIDO Y SEMICONDUCTORES

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PRÁCTICA 6 CAPACIDAD CALORÍFICA DE UN SÓLIDO 1.- INTRODUCCIÓN: 1.1 Modelo de Debye Llamamos capacidad calorífica de un sólido al calor necesario para elevar en un grado la temperatura de una determinada cantidad de material (se mide en Joule/ºC o J/K): δQ [6.1] C= δT Es frecuente utilizar la capacidad calorífica molar (J/ºC mol o J/ K mol),en la que la cantidad de materia considerada es un mol, mientras que en la definición de calor específico se suprime la dependencia con la masa total involucrada (J/ ºC kg o J/ K kg). La capacidad calorífica de cada material depende de la existencia en dicho material de mecanismos de acumulación de energía, a través de la excitación de vibraciones de los átomos o de la excitación de electrones alos niveles superiores de energía. En la mayor parte de los sólidos (con excepción de los metales a muy baja temperatura) la capacidad calorífica está determinada esencialmente por la energía que puede acumular el sólido en forma de vibraciones de los átomos que lo componen, en torno a sus posiciones de equilibrio. En la teoría clásica de los calores específicos, la energía media a una temperaturadada se calcula Altas T, C≈3R teniendo en cuenta todas las energías posibles y C calculando el valor promedio mediante la estadística de Boltzmann. Al hacer el cálculo de la energía media se Comportamiento real llega a la conclusión de que, a cada grado de libertad de las partículas del sistema le corresponde una energía bajas T, 3 media kBT/2 (este es el llamado principio de C≈AT equiparticiónde la energía). Así, en los gases monoatómicos, donde cada partícula tiene tres grados de libertad, la energía media por partícula sería 3kBT/2. θD T La energía interna por mol sería: Figura 6.1 3 [6.2] U(T) = N A k B T 2 donde NA es el número de Avogadro, y, en consecuencia, la capacidad calorífica molar sería C=(3/2)kBNA. En un sólido, si se consideran las vibraciones independientes de losátomos, todos con la misma frecuencia y considerando tres grados de libertad, se obtiene una energía molar promedio de valor 3NAkBT, de la que se deduce un calor específico molar de 3NAkB=3R. En 1819 Dulong y Petit descubrieron que la mayor parte de los sólidos presentaban una capacidad calorífica molar a temperatura ambiente de aproximadamente 25 J/mol K. Dicho valor coincidía con el predicho por elmodelo anterior, lo cual supuso un triunfo de la teoría cinética clásica. Sin embargo, pronto se observaron desviaciones a temperaturas más bajas, y se constató que dicha constante constituía en realidad un límite superior: por debajo de cierta temperatura característica de cada sólido, llamada temperatura de Debye (θD), la capacidad calorífica disminuye y tiende a cero proporcionalmente al cubo dela temperatura para las temperaturas próximas a cero, como muestra la figura 6.1. Según del modelo de Debye (1912), el origen de este comportamiento hay que buscarlo tanto en la estadística cuántica, a la que obedece la excitación de las vibraciones de un sólido, como en el hecho de que dichas vibraciones, como hemos visto en la práctica correspondiente, se distribuyen en modos (acústicos yópticos). En la aproximación de Debye se considera válida la relación de

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dispersión ω= vs k, con vs la velocidad del sonido constante. Como se ha visto en una práctica anterior, esta relación es válida para valores pequeños de ω (correspondientes a valores pequeños de k, es decir, longitudes de onda muy largas). Las ondas acústicas que puedenpropagarse en un sólido en todas las direcciones del espacio, serán las que tengan un valor de k contenidos en una esfera de radio kMAX. El número de ondas posibles con valores de k comprendidos entre k y k+dk será proporcional al volumen comprendido entre las esferas de radio k y k+dk. Si llamamos g a la constante de proporcionalidad, dicho número será: 4πg dN = g4π k 2 dk = 3 ω 2 dω [6.3] vs...