Capacitancia
Páginas: 8 (1995 palabras)
Publicado: 9 de febrero de 2013
51. Una esfera de radio rodea a una carga puntual localizada en su centro. a) Demuestre que el flujo eléctrico a través de un casquete circular de medio ángulo (Fig. P24.51) es
¿Cuál es el flujo por b)
y c)
?
Figura P24.51a Solución: a) Tenemos que la definición de flujo eléctrico está dada por: ∫ (1) viene dado por
Veamos que es cada término. El campo eléctrico de la carga puntual̂ En la superficie de la esfera tenemos que ̂ y el campo nos queda (2)
El elemento superficial de área sobre una superficie esférica en coordenadas esféricas está dado por:
o ̂ (3)
En la figura P24.51a podemos apreciar que tanto E como dA apuntan en dirección radial hacia afuera (ambos son paralelos). El campo eléctrico es normal en todos los puntos de la superficie esférica y siempretiene una magnitud constante en dichos puntos. De (3) y (2) el integrando (1) nos queda ̂ ̂
Teniendo en cuenta que queda:
y que
la integral de superficie (ec. 1) nos
∫ ∫
(∫
) (∫
)
Como
b) para
; entonces
Para
; entonces ( )
58. Dos láminas de carga no conductoras infinitas son paralelas entre sí como se ve en la figura P24.58. La lámina de la izquierda tieneuna densidad de carga superficial uniforme y la de la derecha tiene una densidad de carga uniforme – . Calcule el valor del campo eléctrico en puntos a) a la izquierda, b) entre, y c) a la derecha de las dos láminas. (Sugerencia: véase el ejemplo 24.8.)
Solución: La magnitud del campo eléctrico debido a un plano infinito no conductor de carga positiva con densidad de carga superficial uniformees
De igual manera la magnitud del campo eléctrico en cualquier punto para la lámina no conductora con densidad de carga uniforme – es
Las líneas de campo eléctrico para cada lámina se distribuyen en la dirección que se muestran en la figura P24.58 a. a) A la izquierda de las láminas vemos que el campo resultante es cero ya que las líneas de campo generadas por la placa positiva van saliendohacia la izquierda (anaranjada), mientras que las creadas por la placa negativa van entrando hacia la derecha (roja). Tenemos dos cantidades iguales en valor pero con direcciones opuestas. Por el principio de superposición la resultante da cero. Figura P24.58a
b) Entre las dos laminas tanto las líneas de campo de la placa positiva como la negativa se distribuyen hacia la derecha. De modo queel campo resultante es; por el principio de superposición la suma algebraica de y
c) A la derecha de las dos laminas el análisis es similar al hecho en la parte a. las líneas de campo generadas por la placa positiva van saliendo hacia la derecha (anaranjada), mientras que las creadas por la placa negativa van entrando hacia la izquierda (roja). Tenemos dos cantidades iguales en valor pero condirecciones opuestas. Por el principio de superposición la resultante da cero.
60. Una esfera de radio está hecha de un material no conductor con una densidad de carga volumétrica uniforme . (Suponga que el material no afecta al campo eléctrico.) Se efectúa enseguida una cavidad de radio en la esfera, como se muestra en la figura. Demuestre que el campo eléctrico dentro de la cavidad esuniforme y está dado por ⁄ . (Sugerencia: El campo en el interior de la cavidad es la y superposición del campo debido a la esfera original sin perforación más el campo debido a una esfera del tamaño de la cavidad con una densidad de carga uniforme de – ).
Solución: Consideremos un punto arbitrario
en el interior de la cavidad (ver Fig P24.60 a) y sea
Figura P24.60 a Siguiendo la sugerencia El campo eléctrico debido a la esfera original sin perforación en el punto P a una distancia r del centro de la esfera seria Utilizando la ley de Gauss ∮ Como se vio en el ejemp. 24.5 Por tanto Por simetría, E1 es constante en todos los puntos sobre la superficie y nos queda es paralelo a en cada punto.
‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
Por otro lado si únicamente estuviera la cavidad esférica de...
¿Cuál es el flujo por b)
y c)
?
Figura P24.51a Solución: a) Tenemos que la definición de flujo eléctrico está dada por: ∫ (1) viene dado por
Veamos que es cada término. El campo eléctrico de la carga puntual̂ En la superficie de la esfera tenemos que ̂ y el campo nos queda (2)
El elemento superficial de área sobre una superficie esférica en coordenadas esféricas está dado por:
o ̂ (3)
En la figura P24.51a podemos apreciar que tanto E como dA apuntan en dirección radial hacia afuera (ambos son paralelos). El campo eléctrico es normal en todos los puntos de la superficie esférica y siempretiene una magnitud constante en dichos puntos. De (3) y (2) el integrando (1) nos queda ̂ ̂
Teniendo en cuenta que queda:
y que
la integral de superficie (ec. 1) nos
∫ ∫
(∫
) (∫
)
Como
b) para
; entonces
Para
; entonces ( )
58. Dos láminas de carga no conductoras infinitas son paralelas entre sí como se ve en la figura P24.58. La lámina de la izquierda tieneuna densidad de carga superficial uniforme y la de la derecha tiene una densidad de carga uniforme – . Calcule el valor del campo eléctrico en puntos a) a la izquierda, b) entre, y c) a la derecha de las dos láminas. (Sugerencia: véase el ejemplo 24.8.)
Solución: La magnitud del campo eléctrico debido a un plano infinito no conductor de carga positiva con densidad de carga superficial uniformees
De igual manera la magnitud del campo eléctrico en cualquier punto para la lámina no conductora con densidad de carga uniforme – es
Las líneas de campo eléctrico para cada lámina se distribuyen en la dirección que se muestran en la figura P24.58 a. a) A la izquierda de las láminas vemos que el campo resultante es cero ya que las líneas de campo generadas por la placa positiva van saliendohacia la izquierda (anaranjada), mientras que las creadas por la placa negativa van entrando hacia la derecha (roja). Tenemos dos cantidades iguales en valor pero con direcciones opuestas. Por el principio de superposición la resultante da cero. Figura P24.58a
b) Entre las dos laminas tanto las líneas de campo de la placa positiva como la negativa se distribuyen hacia la derecha. De modo queel campo resultante es; por el principio de superposición la suma algebraica de y
c) A la derecha de las dos laminas el análisis es similar al hecho en la parte a. las líneas de campo generadas por la placa positiva van saliendo hacia la derecha (anaranjada), mientras que las creadas por la placa negativa van entrando hacia la izquierda (roja). Tenemos dos cantidades iguales en valor pero condirecciones opuestas. Por el principio de superposición la resultante da cero.
60. Una esfera de radio está hecha de un material no conductor con una densidad de carga volumétrica uniforme . (Suponga que el material no afecta al campo eléctrico.) Se efectúa enseguida una cavidad de radio en la esfera, como se muestra en la figura. Demuestre que el campo eléctrico dentro de la cavidad esuniforme y está dado por ⁄ . (Sugerencia: El campo en el interior de la cavidad es la y superposición del campo debido a la esfera original sin perforación más el campo debido a una esfera del tamaño de la cavidad con una densidad de carga uniforme de – ).
Solución: Consideremos un punto arbitrario
en el interior de la cavidad (ver Fig P24.60 a) y sea
Figura P24.60 a Siguiendo la sugerencia El campo eléctrico debido a la esfera original sin perforación en el punto P a una distancia r del centro de la esfera seria Utilizando la ley de Gauss ∮ Como se vio en el ejemp. 24.5 Por tanto Por simetría, E1 es constante en todos los puntos sobre la superficie y nos queda es paralelo a en cada punto.
‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
Por otro lado si únicamente estuviera la cavidad esférica de...
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