Capacitores capacitancia

La capacitancia

Ejercicio 1. Un capacitor de almacenamiento en una
memoria de aceso aleatorio (RAM en inglés) tiene
una cpacitancia de 55 fF. Si la diferencia de potencial es de 5.3 V, ¿cuál es el exceso de electrones en la
placa negativa?
Si la placa negativa tiene un exceso de N electrones, entonces porta una carga neta q = Ne. Así que

Un capacitor consiste de dos conductores a y b llamadosplacas. Se supone que están completamente
aislados y que se encuentran en el vacío.
Se dice que un capacitor está cargado si sus placas
tienen cargas iguales y opuestas, +q y −q.
Cuando se mencione a la carga, q, de un capacitor
se considera a la magnitud de la carga de cualquiera
de las placas.
Un capacitor puede adquirir carga eléctrica si se
conecta a las terminales de una batería. Puesto quelas placas son conductoras, entonces son equipotenciales, y la diferencia de potencial a través de las placas será la misma que la de la batería.
Por conveniencia, a la magnitud de la diferencia de
potencial entre las placas se le llama V .
La carga y la diferencia de potencial en un capacitor se relacionan por
q = CV

N=

q CV
(55 × 10−15 F)(5,3V)
=
=
e
e
1,60 × 10−19 C
N = 1,8 × 106 electrones.El cálculo de la capacitancia
Conviene establecer un plan
1. se supone una carga q en las placas
2. se calcula el campo eléctrico E entre las placas
en términos de su carga, usando la ley de Gauss
3. una vez conocido E, se calcula la diferencia de
potencial V entre las placas y

(1)

4. se calcula C a partir de C = q/V .

donde C es una constante de proporcionalidad llamada capacitancia. La unidadde medida de la capacitancia en el SI es el farad (abreviado F).

El cálculo del campo eléctrico: de acuerdo con la
ley de Gauss (ver la figura 1)
1
4πε0

1 f arad = 1coulomb/volt
1

E · dA = q

(2)

donde los signos + y − indican que la trayectoria
inicia en la placa con carga positiva y termina en la
placa con carga negativa.

Un capacitor de placas paralelas
De acuerdo con la figura 1, setiene que
−

Figura 1:

V=

Eds =
+

que, dadas las condiciones, da como resultado
ε0 EA = q,

(3)

(6)

(7)

ε0 = 8.85 × 10−12 F/m = 8.85pF/m.

Un capacitor cilíndrico

(4)

La figura 2 muestra, en seccion transversal, a un capacitor cilíndrico de longitud L formado por dos cilindros coaxiales a y b.
Se supone que L >> b. La superficie gaussiana
más conveneinte es un cilindro de longitu L y radio
r,con tapas en sus extremos. Así, la ecuacion (3) da

aquí la integral se ha evaluado a lo largo de la trayectoria que inicia en una placa y termina en la otra.
Dado que sólo nos interesa la magnitud de V , se puede establecer que V f −Vi = −V , por lo que
−

E ds,

0

qd
.
ε0 A

¡y sólo depende de la geometría del capacitor! De
aquí que otra forma de definir a ε0 da

i

V=

ds =

A
C = ε0 .
d

f

E· ds,

d

y de la definicion de capacitancia

donde A es el área de traslape entre las placas y la
superficie gaussiana.
El cálculo de la diferencia de potencial. La diferencia de potencial se calcula según
V f −Vi =

q
ε0 A

(5)

q = ε0 EA = ε0 E(2πrL)

+

2

y, nuevamente, la capacitancia sólo depende de los
factores geométricos.

Un capacitor esférico
La figura 2, también representa a laseccion transversal de un capacitor que consiste de dos cascarones
esféricos de radios a y b. Como superficie gaussiana
se elige una esfera de radio r.
Aplicando la ecuacion (3) a esta superficie
q = ε0 EA = ε0 E(4πr2 ),
Si se resuelve para E
Figura 2:

E=

donde 2πrL es el área de la pared de la superficie
gaussiana. Resolviendo para E
q
.
(8)
E=
2πε0 Lr
−

E ds =
+

q
2πε0 L

b
a

−

V=

q
4πε0

V=dr
q
b
=
ln
. (9)
r
2πε0 L
a

L
ln(b/a)

E ds =
+

b
a

q
1 1
dr
=
−
r2
4πε0 a b

q b−a
.
4πε0 ab

(12)

Y sustituyendo en la ecuacion (12) en (1) y resolviendo para C se obtiene

por lo que
C = 2πε0

(11)

y sustituyendo en la ecuacion (5) se encuentra

y, sustituyendo en la ecuacion (5)
V=

1 q
,
4πε0 r2

(10)

C = 4πε0
3

ab
.
b−a

(13)

De la ecuacion (14) se tiene

Una esfera aislada

C =...