Capacitores E Inductores

CIRCUITO RLC SERIE SIN FUENTE

Este circuito se excita con la energía inicialmente almacenada en el capacitor y el inductor. Tal energía está representada por la tensión inicial del capacitor (Vo) y la corriente inicial del inductor (Io).

Sabíamos que:
corriente capacitor: it=Cdv(t)dt voltaje inductor: vt=Ldi(t)dt
Así que en t=0:
i0=Cdv(0)dt →v0=1C -∞0i(0)dt=Vo
v0=Ldi(0)dt→i0=1L -∞0v(0)dt=Io
Como por los dispositivos en serie transita la misma corriente aplico Ley de Voltajes de Kirchhoff (LVK) en el instante t=0:
Rit+Ldi(t)dt+1C -∞ti(t)dt=0
Operando:
Ld2i(t)dt2+Rdi(t)dt+1C i(t)=0
d2i(t)dt2+RLdi(t)dt+1LC i(t)=0
Es la ecuación diferencial de segundo orden del circuito, para resolverla es necesario calcular o conocer las condiciones iniciales del problema de valorinicial.
Analizando la ecuación característica en donde λ=di(t)dt:
λ2+RLλ+1LC=0
Resolviendo y hallando conjunto fundamental de soluciones:
λ1,λ2= -R2L± R2L2-1LC
De una forma más compacta suelen llamarse: α=R2L ω02=1LC quedando así:
λ1,λ2=-α±α2-ω02
* Las raíces λ1,λ2 se denominan frecuencias naturales medidas en neperes por segundo (Np/s) porque se asocian con la respuesta natural delcircuito.
* ω0 Es llamada la frecuencia resonante del circuito o frecuencia natural no amortiguada expresada en radianes por segundo (Rad/s).
* α es llamada la frecuencia neperiana o factor de amortiguamiento expresada en neperes por segundo (Np/s).
* αω0 es llamada la razón de amortiguamiento.
En términos de α y ω la ecuación característica quedaría:
λ2+2αλ+ω02=0
Según sea el casola ecuación arrojara tres posibles soluciones:
1. Si las raíces son reales diferente, ósea que α>ω0 se dice que se tiene el caso sobreamortiguado.
2. Si las raíces son reales iguales, ósea que α=ω0 se dice que se tiene el caso críticamente amortiguado.
3. Si las raíces son complejas conjugadas, ósea que α<ω0 se dice que se tiene el caso subamortiguado.
Veamos cada caso porseparado.
Caso Sobreamortiguado
Si α>ω0 implica que:
R2L>1LC → R24L2 >1LC → R24L>1C → C>4LR2
Al suceder esto las raíces quedan reales diferentes y negativos -λ1,-λ2. El conjunto fundamental de soluciones para este caso arroja:
CFS=e-λ1t, e-λ2t
Así la solución a la ecuación diferencial seria:
it=Ae-λ1t+Be-λ2t
Donde A y B son constantes que se calculan con las condicionesiniciales. Al analizar la solución se concluye que a medida que le tiempo pase o sea mayor la corriente decrece, así cuando t→∞ la corriente tendera a cero.

Caso Críticamente amortiguado
Si α=ω0 implica que:
R2L=1LC → R24L2 =1LC → R24L=1C → C=4LR2
Al suceder esto las raíces quedan reales iguales y negativos -λ,-λ. El conjunto fundamental de soluciones para este caso arroja:
CFS=e-λt,te-λt
Así la solución a la ecuación diferencial seria:
it=Ae-λt+Bte-λt
Donde A y B son constantes que se calculan con las condiciones iniciales. Al analizar la solución se concluye que a medida que le tiempo pase o sea mayor la corriente alcanza un valor máximo en t=1/λ y luego decrece, así cuando t→∞ la corriente tendera a cero.

Caso Subamortiguado
Si α<ω0 implica que:
R2L<1LC → R24L2<1LC → R24L<1C → C<4LR2
λ1,λ2=-α±-ω02-α2 λ1,λ2=-α±ω02-α2-1
ωd=ω02-α2 λ1,λ2=-α±ωdj

* ωd es llamada frecuencia de amortiguamiento o frecuencia natural amortiguada.

Al suceder esto las raíces quedan complejas conjugadas λ1,λ2. El conjunto fundamental de soluciones para este caso arroja:
CFS=e-αtcosωdt, e-αtsenωdt

Así la solución a la ecuación diferencial seria:it=Ae-αtcosωdt+B e-αtsenωdt

Donde A y B son constantes que se calculan con las condiciones iniciales. Al analizar la solución se concluye que la respuesta natural esta amortiguada por el exponencial y es de naturaleza osciladora por la presencia de senos y cosenos.
La respuesta tiene una constante de tiempo de t=1/λ donde alcanza su valor máximo y a medida que el tiempo pase o sea mayor la...