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III: Interpolación, Derivación e Integración Numéricas

Objetivo: El alumno analizará y comparará algunos de los métodos numéricos para interpolar, derivar e integrar funciones.

INTRODUCCIÓN

El análisis numérico proporciona diversos métodos para interpolar, derivar e integrar funciones definidas en forma tabular, las cuales pueden ser resultado de experimentos o la simple tabulación dealguna función que se desea integrar o derivar.

DIFERENCIAS FINITAS HACIA ADELANTE O DE AVANCE

Sea una función , continua y diferenciable en el intervalo cerrado x0,xn, la cual es expresada en forma tabular como sigue:

x

x0
x1
.
.
xn
y0
y1
.
.
yn

Se definen como primeras diferencias hacia adelante o de avance de a:

donde  es el operador diferencia.

Las segundas diferencias hacia adelante sonlas diferencias de las primeras diferencias, las terceras diferencias hacia adelante son las diferencias de las segundas diferencias; de manera general las k-ésimas diferencias hacia adelante de una función se pueden obtener como:











3.2 TABLA DE DIFERENCIAS

La función expresada en forma tabular y sus diferencias se pueden agrupar en una tabla de diferencias como sigue:

TABLA DEDIFERENCIAS HACIA ADELANTE DE y=f(x)
x
y=f(x)
yi
yi
yi
yi
yi
x0

x1

x2

x3

x4

.

.

.

xn



y0

y1

y2

y3

y4

.

.

.

yn

y0

y1

y2

y3

y4

.

.

yn-1




y0

y1

y2

y3

y4

.

yn-2







y0

y1

y2

y3

y4
.
yn-3





y0

y1

y2

y3

yn-4









y0

y1

y2
.
yn-5


El proceso de obtención de diferencias es finitoy deja de aplicarse cuando una de estas diferencias se vuelve constante o aproximadamente constante, sin anularse; por ejemplo en un polinomio de grado enésimo, puede comprobarse que es posible obtener hasta las n-ésimas diferencias, si el incremento en la variable independiente es constante; por ejemplo: Sean la s funciones, , , ; tabulando algunos pares de puntos y obteniendo sus diferenciashacia adelante:

x

y

x

y
2y

x

y
2y
y
0

1

2

3

4
0

1

2

3

4

1

1

1

1


0

1

2

3

4
0

1

4

9

16

1

3

5

7


2

2

2

0

1

2

3

4
0

1

8

27

64

1

7

19

37


6

12

18



6

6





INTERPOLACIÓN CON INCREMENTO CONSTANTE EN LA VARIABLE INDEPENDIENTE

El problema de interpolación consiste en determinar el valor de una función f(x) para un valor de la variableindependiente x que se encuentren entre dos valores consecutivos conocidos es decir x0: < xk
Se considera que la función se aproxima a un polinomio de grado n que coincide con todos los puntos de la función ( expresada en forma tabular ) y que el incremento de la variable independiente es constante e igual a h:

x

x0
x1=x0+h
x2= x0+2h
x3= x0+3h
.
.
xn=x0+nh
y0
y1
y2
y3
.
.
yn



3.3.1 POLINOMIO DEINTERPOLACIÓN DE AVANCE DE NEWTON

Si se construye una tabla de diferencias para la función antes presentada, será similar a la mostrada en el apartado 3.2 y de acuerdo con dicha tabla de diferencias y la definición de diferencias se puede expresar cualquier valor yi de la función en términos de y0 y de las diferencias hacia adelante de y0 de la siguiente manera:(1)

y si :


sustituyendo en y2 :

(2)

para y3 se sigue un procedimiento similar obteniéndose:

(3)

Las ecuaciones (1), (2) y (3) permiten ver que los coeficientes que multiplican a lasdiferencias hacia adelante de y0 corresponden a los del binomio de Newton, por lo que se puede escribir para un valor cualquiera yk de la función:
(4)
desarrollando los números combinatorios:

(5)

La ecuación (5) es el Polinomio de Interpolación de avance de Newton (algunos autores lo llaman de Newton-Gregory); donde:

yk...

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