Capitalizacion continua

72

Cap´tulo 7. C´ lculo diferencial ı a

´ 7.2 El numero e: Capitalizaci´ n continua o
1 El n´ mero e se define como el valor del l´mite lim (1 + x )x . El n´ mero e es irracional, u ı u

es decir, e ∈ Q, y, adem´ s, 2 ≤ e ≤ 3. Una aproximaci´ n del n´ mero e viene dada por la a o u o u expresi´ n decimal 2 71828182845905 (si se intenta calcular una aproximaci´ n del n´ mero e con o 1 unacalculadora de bolsillo calculando el valor de (1 + x )x para x = 1020 probablemente la 1 m´ quina nos devolver´ como resultado 1, ¿a qu´ se debe este error?). La funci´ n f (x) = (1 + x )x a a e o 1 x es creciente y (1 + x ) ≤ e para todo x > 0. El l´mite que define al n´ mero e aparece de forma natural en un sencillo, pero important´simo, ı u ı ejemplo econ´ mico. El concepto m´ s simple enfinanzas es el del valor temporal del dinero: o a 1 euro hoy vale menos que 1 euro dentro de un a˜ o. As´, con un capital inicial C0 podemos n ı realizar todo tipo de inversiones, m´ s o menos arriesgadas, durante un per´odo de tiempo t de a ı manera que al final de este intervalo tendremos el capital C0 m´ s una cantidad adicional, el inter´ s, a e I Ct = C0 + I = C0 (1 + C0 ). Siendo conservadores,podemos prestar nuestro dinero C0 a un banco que nos ofrecer´ un tipo de inter´ s anual determinado r. Distinguiremos varios tipos de inter´ s: a e e El inter´ s simple: El inter´ s recibido se basa tan s´ lo en la cantidad inicialmente invertida. e e o Ct = C0 + rC0 = C0 (1 + r). ˜ El inter´ s compuesto m veces al ano: El inter´ s recibido se basa en la cantidad inicialmente e e ´ invertida y en losr´ ditos que esta va generando en las m etapas. Supongamos en primer lugar e que recibimos los intereses de nuestra inversi´ n una vez cada a˜ o (m = 1). En este caso, al cabo o n del primer a˜ o tendr´amos un capital acumulado de C1 = C0 (1 + r). Al finalizar el segundo a˜ o n ı n tendremos C2 = C1 + rC1 = C1 (1 + r) = C0 (1 + r)(1 + r) = C0 (1 + r)2 . Es f´ cil comprobar que, despu´ s de t a˜ osnuestro capital asciende a Ct = C0 (1 + r)t euros. En a e n general, la capitalizaci´ n compuesta se har´ m veces al a˜ o. As´, o a n ı ˜ Per´odos por ano ı m=1 m=2 m=3 m=4 m = 12 m = 365 Capitalizaci´ n o anual semestral cuatrimestral trimestral mensual diaria

x→+∞

Procediendo del mismo modo que para el caso m = 1 es f´ cil deducir la f´ rmula de la capitalizaa o ci´ n compuesta m veces al a˜o o n r mt Ct = C0 1 + . m Inter´ s continuo: Es el l´mite del inter´ s compuesto n veces al a˜ o cuando el n´ mero de etapas e ı e n u r mt . Realizando unas sencillas manipulaciones y aplitiende a infinito, Ct = lim C0 1 + m→+∞ m cando las propiedades del c´ lculo de l´mites, transformaremos esta expresi´ n en una que contenga a ı o

7.2 El n´ mero e: Capitalizaci´ n continua u o el l´miteque define al n´ mero e. ı u K(t) =
m→+∞

73

lim K 1 + 1+

= K lim =K

r m 1
m r

mt

= K lim

m→+∞

1+ 1+

1
m r

mt

mt

m→+∞

= K lim
rt

1
m r

m rt r

m→+∞

m→+∞

lim

1+

1
m r

m r

= Kert . El t´ rmino ert se denomina factor de capitalizaci´ n continua y nos da el valor al cabo de t a˜ os de e o n un dep´ sito de un euro a un tipo de inter´ snominal r. o e Ejemplo 7.5 Para comparar los distintos tipos de capitalizaci´ n, calcularemos el capital acumuo lado al cabo de 10 a˜ os por un dep´ sito de 10.000 euros a un tipo de inter´ s nominal del 6% n o e (r = 0 06). Tipo de capitalizaci´ n o m = 1, anual m = 2, semestral m = 3, cuatrimestral m = 4, trimestral m = 12, mensual m = 365, diaria m → +∞, continua Capital final 17.908’4818.061’11 18.113’62 18.140’18 18.193’97 18.220’29 18.221’19

En la tabla se observa claramente como el valor final de la capitalizaci´ n crece conforme aumenta o en n´ mero de per´odos m y que ese valor se aproxima al de la capitalizaci´ n continua. u ı o Las ecuaciones precedentes relacionan el valor del dinero hoy con el valor en el futuro. A la inversa, si sabemos que vamos a recibir un euro...