Capitulo 01 Analisis del elemento finito fime

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Universidad Autónoma de Nuevo León
Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

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Análisis de Elemento Finito
103-408
Material de apoyo

Autores:
Prof.Dr. Francisco Ramírez Cruz
Prof.Dr. Fco. Eugenio López Guerrero

Análisis de Elemento Finito________________________________________________________________________________________

ESFUERZOS Y EQUILIBRIO
En al figura 1.1 se muestra un cuerpo tridimensional que ocupa un volumen V y tiene una
superficie S. Los puntos en el cuerpo están identificados por las coordenadas x, y, z. La
frontera del cuerpo se restringe a la región donde se especifica el desplazamiento. Sobre
una parte de la frontera se aplica una fuerza distribuida por unidad de área T,llamada
también tracción. Debido a la acción de la fuerza se deforma el cuerpo. La deformación en
un punto x (= [x, y, z]T ) esta dada por las tres componentes de su desplazamiento:
u = [u, v, w]T

(1.1)

La fuerza distribuida por unidad de volumen, el peso por unidad de volumen, es el vector f
dado por
f = [ ƒx, ƒy, ƒz ]T

(1.2)

En al figura 1.1 se muestra la fuerza de cuerpo actuando sobre elvolumen elemental dV. La
tracción superficial T puede darse por el valor de sus componentes en puntos sobre la
superficie.
T = [ Tx, Ty, Tz]T

(1.3)

Ejemplos de tracción son las fuerzas de contacto distribuidas y la acción de la presión. Una
carga P actuando en un punto i se representa por sus tres componentes
Pi = [ Px, Py, Pz]iT

(1.4)

Figura 1.1 Cuerpo tridimensional________________________________________________________________________1
Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Universidad Autónoma de Nuevo León

Análisis de Elemento Finito
________________________________________________________________________________________

En la figura 1.2 se muestra los esfuerzos que actúan sobre el volumen elemental dV.
Cuando el volumen dV “se contrae” a un punto, el tensor de esfuerzo serepresenta
colocando sus componentes en una matriz simétrica (3x 3). Sin embargo, representamos los
esfuerzos por medio de sus seis componentes independientes como sigue:
σ = [σx, σy, σz, τyz, τxz, τxy]T

(1.5)

Donde σx’ σy’ σz son esfuerzos normales τyz’ τxz’ τxy son esfuerzos cortantes. Consideremos
el equilibrio del volumen elemental mostrado en la figura 1.2. Primero obtenemos las
fuerzas sobrelas caras multiplicando los esfuerzos por las áreas correspondientes.
Escribimos ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣFz = 0, y recordando que dV = dx dy dz, obtenemos las
ecuaciones de equilibrio:
δσ x
δx
δτ xy
δx
δτ xz
δx

+
+
+

δτ xy
δy
δσ y
δy
δτ yz
δy

+
+
+

δτ xz
δz
δτ yz
δz
δσ z
δz

+ f

x

+ f
+ f

y

z

=

0
=

0

=

0

(1.6)

Figura 1.2 Equilibrio de un volumen elemental________________________________________________________________________2
Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Universidad Autónoma de Nuevo León

Análisis de Elemento Finito
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CONDICIONES DE FRONTERA
Refiriéndonos a la figura 1.1, vemos que hay condiciones de desplazamiento en la frontera
y condiciones de carga en la superficie. Siu se especifica sobre parte de la frontera
denotada por Su, tenemos
u=0
sobre Su
(1.7)
También podemos considerar condiciones de frontera tales como u=a, donde a es un
desplazamiento.
Consideremos ahora el equilibrio del tetraedro elemental ABCD, mostrado en la figura 1.3,
donde DA, DB, y DC son paralelas a los ejes x, y y z, respectivamente, y dA, es el área
definida por los vértices ABC. Si n= [nx, ny, nz]T es la normal unitaria a dA, entonces el
área BDC = nx dA, el área ADC = ny dA y el área ADB = nz dA. La consideración del
equilibrio a lo largo de los tres ejes coordenadas da
σ x nx + τ xy ny + τ xy nz = Tx
τ xy nx + σ y ny + τ yznz = Ty
τ xznx + τ yzny + σ znz

= Tz

(1.8)

Esas condiciones deben satisfacerse sobre la frontera ST , donde se aplican las tracciones.
En esta...