Capitulo 11

ANÁLISIS MATRICIAL

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Fn  K nn
F  = K
 a   an

K na 
K aa 

δ n 
δ 
 a

(11.14)

en donde:

[F ]
[F ]

son las reacciones de los apoyos (desconocidas)

[δ n ]

el vector de desplazamientos de los nudos libres (desconocidos) y

[δ a ]

los desplazamientos de los apoyos (conocidos y generalmente iguales a cero)

n

a

es el vector de cargas aplicadas (conocidas)

Expandiendoentonces la ecuación (11.14), se obtiene:

[ Fn ] = [ K nn ] [δ n ] + [ K na ] [δ a ]

(a)

[ Fa ] = [ K an ] [δ n ]

(b)

+ [ K aa ] [δ a ]

y despejando de la primera el vector [δ n ]

[δ n ] = [ K nn ] − 1 [ Fn ] − [ K nn ] − 1 [ K na ] [δ a ]

(11.15)

reemplazando este valor en la ecuación (b)

[ Fa ] = [ K an ] [ K nn ] − 1 [ Fn ] − [ K an ] [ K nn ] − 1 [ K na ] [δ a ] + [ K aa ] [δ a ]
yfactorizando por [δ a ] :

[ Fa ] = [ K an ] [ K nn ]− 1 [ Fn ] + [[ K aa ] − [ K an ][ K nn ]− 1 [ K na ]] [δ a ]

(11.16)

Las ecuaciones (11.15) y (11.16) constituyen la base de la solución matricial de una
estructura por el método de los desplazamientos.
En el caso muy común de desplazamientos nulos en los apoyos, en la dirección de las
reacciones, el vector [δ a ]resulta igual a cero y lasecuaciones (11.15) y (11.16) se reducen
a:

[δ n ] = [ K nn ] − 1 [ Fn ]
[ Fa ] = [ K an ] [ K nn ] − 1 [ Fn ]

(11.17)

(11.18)

Una vez averiguados los desplazamientos mediante las ecuaciones (11.15) o (11.17) se
pueden conocer las fuerzas internas mediante la Matriz de fuerzas internas corres-

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ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS

pondiente al tipo de elementos de la estructura que se verán más adelante,con lo cual
queda completo el análisis.
En resumen, el calculista deberá efectuar los siguientes pasos:
1.

Identificar la estructura, numerar los nudos y determinar la orientación de los
elementos.

2.

Calcular los términos de las matrices de rigidez de los miembros, referidas a coordenadas generales.

3.

Ensamblar la matriz de rigidez de la estructura, reordenándola para que queden
separadasde una vez las fuerzas en los nudos libres y las reacciones de los apoyos.

4.

Partir la matriz ensamblada y calcular los desplazamientos desconocidos.

5.

Calcular las reacciones y verificar el equilibrio general de la estructura.

6.

Calcular las fuerzas internas utilizando las matrices individuales y verificar, finalmente, el equilibrio de los nudos.

Conviene ahora desarrollar las matricesde rigidez de las diversas clases de miembros que
componen las estructuras reticulares.
11.9 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA PRISMÁTICA SOMETIDA A TENSIÓN
O COMPRESIÓN SIMPLE

Figura 11.9 Barra prismática sometida a tensión simple.

En la figura 11.9 se presenta una barra prismática sometida a tensión simple. En Resistencia de materiales se vio que dicha barra experimenta una elongación δ dada por:FL
AE
AE
despejando se obtiene:
F=
δ
L
completamente análoga a la obtenida para el resorte elástico si considera una constante
del resorte equivalente:
δ=

ke =

AE
L

(11.19)

ANÁLISIS MATRICIAL

429

En consecuencia, se puede escribir que la matriz de rigidez de una barra sometida a
tensión o compresión simple, está dada por:
δi

 AE
 L
[ K] =  AE
−
 L

δj

−

AE 
L 
 =
AE 
L 

δi 1
AE 
L 
−1

δj

−1 


1

(11.20)

Como es bien sabido, la mayor aplicación de tales barras se encuentra en las armaduras o
cerchas, bien sea planas o espaciales. Al ensamblarlas en dichas estructuras quedan
orientadas de modo diferente y para poder efectuar el ensamblaje de la matriz de rigidez
por el método de superposición visto en el numeral 11.5, es necesario modificar la
ecuación(11.20) para referir todas las fuerzas y desplazamientos a un sistema común de
ejes, que se denominan ejes de la estructura o ejes generales. En el numeral siguiente se
presenta la transformación correspondiente a barras de armadura planas.

11.10 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE CERCHA PLANA
En general, los elementos de cercha plana son elementos arbitrariamente orientados, que
se consideran...