capitulo 2 tecnicas de conteo

CAPITULO 2 TÉCNICAS DE CONTEO
En el cálculo de las probabilidades se debe poder determinar el número de veces
que ocurre un evento o suceso determinado. Es muchas situaciones de
importancia práctica es imposible contar físicamente el numero de ocurrencias de
un evento o enumérelos uno a uno se vuelve un procedimiento engorroso. Cuando
se está frente a esta situación es muy útil disponer de unmétodo corto, rápido y
eficaz para contar.
A continuación se presentan algunas de estas técnicas, denominadas técnicas de
conteo o análisis combinatorio, entre las cuales se tienen: el principio
fundamental del conteo, permutaciones, variaciones, combinaciones, la regla del
exponente y el diagrama de árbol.
2.1 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO
En la teoría fundamental del conteo se tienen dosprincipios básicos, que son la
base para desarrollar otros conceptos como permutaciones y combinaciones que
se verán más adelante.
Principio de multiplicación o multiplicativo
Algunos problemas de probabilidad pueden resolverse aplicando este principio.
Suponga que una persona desea preparar un almuerzo para sus amigos y tiene
dos recetas para la sopa, tres para el plato principal y dos para el postre.¿De
cuántas maneras puede el anfitrión hacer su menú? En la figura 5 se señalan
todas las maneras posibles para preparar el almuerzo.
Figura 2.5
Diagrama de las posibles opciones para preparar un menú

Las alternativas que tendrá son:
{1,3,6} {1,3,7} {1,4,6} {1,4,7} {1,5,6} {1,5,7}
{2,3,6} {2,3,7} {2,4,6} {2,4,7} {2,5,6} {2,5,7}
En total se tienen 12 maneras diferentes de preparar un deliciosoalmuerzo.
Aplicando el principio de multiplicación se tiene: 2 x 3 x 2 = 12
Generalizando, si un evento determinado puede realizarse de n1 maneras
diferentes, y si un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes, y
si, además, un tercer evento puede realizarse de n3 maneras diferentes y así

sucesivamente, y si al mismo tiempo cada evento es independiente del otro,
entonces el número demaneras en que los eventos pueden realizarse en el orden
indicado es el producto:

Principio aditivo
Este principio tiene las mismas premisas del principio multiplicativo, pero con la
condición no de que los eventos sean independientes sino de que sean
mutuamente excluyentes, es decir que cada uno ocurra sin la necesidad de que
otro lo haga. El número total de maneras en las que pueden realizarse loseventos
es la adición:
Suponga, ahora, que la persona que prepara el menú para sus amigos preparará
pescado como plato principal. Para preparar el pescado, él encuentra cinco
maneras diferentes de hacerlo al horno, dos para hacerlo frito y tres para
prepararlo cocido. ¿De cuántas maneras diferentes puede cocinar su pescado?
Cada una de las maneras de preparar el pescado es excluyente de las otrasdos.
Es decir, si el cocinero decide preparar el pescado cocido, ya no podrá prepararlo
ni frito ni al horno; de igual manera sucede si decide hacerlo al horno o frito. Así
que en total, y de acuerdo con el principio aditivo, sólo hay 5+2+3=10 maneras
diferentes de cocinar el pescado.
Figura 2.6
Esquema de interpretación de los principios multiplicativo y aditivo

El esquema de la figura 2.6ilustra una interpretación sencilla de ambos
principios1. Más adelante se desarrollan los conceptos de eventos independientes
y eventos mutuamente excluyentes, pero ya inicia un primer acercamiento a ellos.
2.2: FACTORIAL DE UN NÚMERO
En el análisis combinatorio interviene con mucha frecuencia el concepto de
factorial de un entero no negativo n. Este se denota por el símbolo n! y se define
como elproducto de n por todos los enteros que le preceden hasta llegar al uno.
Simbólicamente queda expresado como:

1

Modificado de Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, Gabriel Velasco S. y Piotr Marian
Wisniewski. Thomson Learning. México. 2001

La excepción es el caso de 0! El cual conviene definirlo como igual a 1 con objeto
de preservar la validez de las fórmulas en casos...