Capitulo 3 1 Al 9 Cadena De Markov Cont Hellip

Capítulo 3:
Cadenas del Markov Continuas

Problema 1
Una empresa productiva cuenta con N máquinas del mismo tipo. El tiempo hasta que falla cada máquina es exponencial a tasa . Cuando una máquina falla, entra a un taller de reparaciones que posee la empresa. En este taller existe un solo técnico encargado de atender las máquinas, el que además debe encargarse de manejar el inventario derepuestos del taller. La manera como el técnico ha organizado su trabajo es la siguiente: mientras haya menos de R máquinas esperando ser atendidas, él se dedica a las labores asociadas al inventario de repuestos. A partir del momento en que existen R máquinas, el técnico se dedica a atenderlas, hasta que no quede ninguna esperando. En ese instante vuelve a ocuparse del inventario de repuestos, hasta quenuevamente se acumulan R máquinas, y así sucesivamente. El tiempo que le toma al técnico repara una máquina es exponencial a tasa . Una vez que una máquina es reparada vuelve a funcionar y el tiempo hasta la próxima falla es nuevamente exponencial a tasa .
Se desea conocer, en un horizonte de largo plazo, el número medio de máquinas en el taller en un instante cualquiera. Formule un modeloestocástico para este objetivo, definiendo la(s) variable(s) de estado requerida(s) y las ecuaciones específicas que permiten responder la pregunta formulada.
Indique cómo obtendría, en un horizonte de largo plazo, la fracción de tiempo que el técnico pasa dedicado al manejo de inventario y la fracción de tiempo que pasa reparando máquinas.
Solución:
Se defina las siguientes variables de estado delsistema:
es el número de máquinas en el taller en el instante t, con .

El siguiente diagrama representa a la cadena del problema formulado.

Figura 3. 1
Así, los posibles estados del sistema son:

Para encontrar el número medio de máquinas en el taller en el largo plazo es necesario obtener las probabilidades de que el sistema se encuentre en el estado en el largo plazo, es decir, . Estasprobabilidades se obtienen al resolver el sistema de ecuaciones de equilibrio.
El sistema de ecuaciones de equilibrio está dado por:

donde es la tasa de permanencia en el estado y es la probabilidad de transición del estado al . Luego,

Resolviendo el sistema de ecuaciones en conjunto con , se obtienen las probabilidades
Luego, el número promedio de máquinas en el taller es:

Por otra parte, lafracción del tiempo que el técnico está dedicado a reparar máquinas es:

Problema 2
Una empresa aérea debe definir su política de stock de motores de repuesto para los aviones de su flota. Cada vez que un avión entra a mantenimiento, sus motores son revisados. Si uno o más de ellos están fallados, éstos son removidos del avión y enviados a la unidad de reparación. Esta unidad tiene, al principio delhorizonte de análisis, S motores buenos en stock. Por lo tanto, si al llegar un motor fallado a la unidad, existe uno bueno en stock, éste es enviado inmediatamente al avión respectivo, el que queda de este modo listo para reiniciar sus vuelos. Si no existe un motor bueno en stock, el avión debe esperar hasta que se repare alguno de los motores fallados. En cualquier caso, todo motor fallado quellega es enviado inmediatamente a reparación. El tiempo que toma reparar un motor es exponencial a tasa . Una vez que se repara un motor, éste se utiliza para atender uno de los requerimientos pendientes, o bien para incorporarlo al stock de motores buenos. Asuma,¡ además que no se puede reparar más de un motor simultáneamente.
Asuma que los motores fallados llegan a la unidad de reparación deacuerdo a un Proceso de Poisson a tasa . Formule un modelo que permita obtener la probabilidad que un motor fallado pueda ser reemplazado inmediatamente por un motor bueno (esta probabilidad mide el nivel de servicio global de la unidad de reparación).
Solución:
Se definen las siguientes variables de estado:
stock de motores buenos en el instante .
stock de motores en reparación en el instante ....