Capitulo 3 NF

Capítulo 3
Funciones de una Variable Real
Introducción
Es posible que la idea central en matemáticas sea el concepto de función.
Al parecer, esta palabra fue introducida por Descartes en 1637. Para él, una
función significaba tan sólo cualquier potencia entera positiva de una variable
x. Leonard Euler identificaba cualquier ecuación o fórmula que contuviera
variables y constantes, con la palabrafunción; esta idea es similar a la
utilizada ahora en los cursos precedentes al de cálculo. Posteriormente, el uso
de funciones en el estudio de las ecuaciones sobre el flujo de calor, condujo a
una definición muy amplia gracias a Dirichlet, la cual describe a una función
como una regla de correspondencia entre dos conjuntos, definición que ya
utilizamos en el primer capítulo de este libro y queahora ampliaremos al
conjunto de los números reales.

3.1 Funciones de variable real
Objetivos
Al finalizar esta sección el lector podrá:
* Explicar con sus propias palabras el concepto de función de variable
real y los elementos que constituyen su regla de correspondencia.
* Dada una expresión que relaciona dos números reales, encontrar
un conjunto de partida que convierta la relación enfunción.
* Dada la regla de correspondencia de una función de variable real,
identificar su rango.
El concepto de función aparece con frecuencia en el estudio de álgebra,
trigonometría y geometría analítica. En los cursos de cálculo ocupa un lugar
central, ya que nos permite conocer el comportamiento de cualquier función
y facilita su graficación.
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En muchas aplicaciones, con frecuencia existecierta correspondencia
entre dos conjuntos de números. Por ejemplo, el ingreso I que resulta de
la venta de x artículos vendidos a $5 cada uno, es I = 5x. Si conocemos
el número de artículos vendidos, entonces podemos calcular el ingreso I.
Esto es un ejemplo de función. En nuestra vida diaria, también encontramos
ejemplos de funciones: el valor facturado por consumo de energía eléctrica
quedepende del número de kilovatios consumidos durante un mes; el valor
de una casa que básicamente depende del terreno que ocupa en metros
cuadrados; la estatura en centímetros de una persona que depende de su
edad; un courier establece el costo por envío de encomiendas en base a su
peso en kilogramos.
Definición 3.1 (Función de una variable real)
Sean X y Y dos conjuntos no vacíos, subconjuntos de losnúmeros
reales. Una función de variable real de X en Y es una regla de
correspondencia que asocia a cada elemento de X un único elemento
de Y. Esto se representa simbólicamente por:

f: X → Y
x → y = f (x)
A la variable x se le llama variable independiente y a la variable
conoce como variable dependiente.

y se la

La definición de función asegura que no pueden existir dos valores diferentes
de y(variable dependiente) para un mismo valor de x (variable independiente).
A la variable x de una función a veces se la denomina argumento de la
función. Pensar en la variable independiente como un argumento, en
ocasiones facilita la aplicación de la regla de correspondencia de la función.
De acuerdo a las definiciones dadas en el capítulo 1 de este libro, todos los
elementos del conjunto de partidaX deben estar relacionados con algún
elemento de Y. Tanto X como Y pueden ser el conjunto de los números
reales o un subconjunto del mismo.
Cualquier símbolo puede ser utilizado para representar las variables
independiente y dependiente. Por ejemplo, si f es la función cúbica, entonces
puede ser definida por f (x) = x3, f (t) = t3 o f (z) = z3. Las tres reglas de
correspondencia son idénticas:cada una indica que debemos obtener el
cubo de la variable independiente.
El conjunto de partida de una función puede presentar restricciones físicas
o geométricas. Por ejemplo, f (x) = x2 está definida para todos los números
reales, sin embargo, si f es utilizada como la regla de correspondencia para
obtener el área de la superficie de un cuadrado, conociendo la longitud x de
su lado, debemos...