Capitulo 3 Numeros Complejos

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL

520142
Primer Semestre

CAPITULO 5
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas

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Números Complejos
Definición: Números Complejos
Se define el conjunto de los números complejos, el cual se denota por C,
como el conjunto de pares ordenados z = (x, y), con x, y ∈ R. Se provee
a C de las siguientes operaciones binarias internas.Adición (+):

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Multiplicación (·):

(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)

Estas operaciones tienen las siguientes propiedades:

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Números Complejos
Propiedades de la adición:

∀z, z1 , z2 , z3 ∈ C, se tiene:
C1

Conmutatividad de la adición

z1 + z2 = z2 + z1

C2

Asociatividad de la adición

z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3

C3

Existencia del neutro aditivo
0 = (0,0)

z+0=0+z =z

C4

Existencia del inverso aditivo
Para cada z = (x, y) ∈ C existe
−z = (−x, −y) ∈ C tal que

z + (−z) = −z + z = 0

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Números Complejos
Propiedades de la multiplicación:
∀z, z1 , z2 , z3 ∈ C, se tiene:
C5

Conmutatividad de la multiplicación

z1 · z2 = z2 · z1

C6

Asociatividad de la multiplicación

z1 · (z2 · z3 ) = (z1 · z2 ) · z3

C7

Existencia del neutro multiplicativo
1 =(1, 0)

1 · z = (1, 0) · (x, y) = z

C8

Existencia del inverso multiplicativo
z −1 para todo z = 0

z · z −1 = 1

Además, se tiene:
C9

Distributividad de la multiplicación
con respecto a la adición

z1 · (z2 + z3 ) = z1 · z2 + z1 · z3

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Números Complejos
Observaciones
El inverso multiplicativo de z = (x, y) = (0, 0) es
z

Notación:

−1

x
−y
=( 2
, 2
)
2
2
x +y x +y

w
= wz −1 .
z

El neutroaditivo y el neutro multiplicativo son únicos.
El inverso aditivo y el inverso multiplicativo son únicos.
El neutro aditivo es absorvente: z · (0, 0) = (0, 0), ∀z ∈ C.
El conjunto C con sus operaciones (+) y (·) se denota (C, +, ·), y
constituye una estructura que se llama Cuerpo de los números
complejos.

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Números Complejos
Observación.

El conjunto S = {(x, 0) : x ∈ R} corresponde a la rectareal, y las operaciones de C restringidas a S coinciden con la suma y
multiplicación de los números reales. Por esto identificamos S con R y el
complejo (x, 0) con el real x.
x = (x, 0),
Definiciones:

1 = (1, 0),

0 = (0, 0).

Dado z = (x, y) ∈ C.

Los números reales x e y se llaman Parte Real y Parte Imaginaria
de z, respectivamente. En este caso se escribe
Re(z) = x,

Im(z) = y.

Los númeroscomplejos z = (x, 0) se llaman complejos reales y
los números complejos z = (0, y) se llaman imaginarios puros.
El complejo, (0, 1) es la unidad imaginaria y se denota por i.
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Números Complejos
Forma binómica o algebraica
Utilizando la unidad imaginaria i, el número complejo z = (x, y) se
puede escribir como
z = x + yi ,
la cual se llama forma binómica o algebraica de z.
Con esta notación lasoperaciones de adición y multiplicación de
números complejos se escriben como sigue:
(+) :

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

(·) :

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

Además, para λ ∈ R y z = x + yi ∈ C se tiene:
λ · z = λx + (λy)i.
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Números Complejos
Definición.

Se llama conjugado de un número complejo z = x + yi al

número complejo
z = x − yi
Propiedades.

Para z, w ∈ Cse tiene:

Re(z) = Re(z), Im(z) = −Im(z).
z + z = 2Re(z),

z − z = 2iIm(z).

z · z = (Re(z))2 + (Im(z))2 ∈ R
z + w = z + w.
zw = z · w.

z = z ⇐⇒ z = x es un complejo real.
z = −z ⇐⇒ z = iy es un imaginario puro.
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Números Complejos
Definición.

Se llama módulo de un número complejo z = x + yi al

número real no negativo
|z| =
Propiedades.

x2 + y 2

Para z, w ∈ C se tiene:

|z| ≥ 0.
|z| = 0 si ysólo si z = 0.
|z + w| ≤ |z| + |w|.
|zw| = |z||w|,
Re(z) ≤ |z|,
z · z = |z|2 .

|z|
z
=
,
w
|w|

w = 0.

Im(z) ≤ |z|.

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Números Complejos
Plano Complejo.
Todo número complejo z = x + iy se puede representar en el plano XY
por el punto (x, y).

Eje imaginario

z=(x,y)=x+iy
r=

|z|

y

De donde x = rcos(θ),
y = rsen(θ).
θ y r se llaman coordenadas polares
de (x, y).

θ

x

Eje real

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