Capitulo 5 Calculo

C A P Í T U L O

5
F U N C I O N E S T R A S C E N D E N T A L E S D E R I V A D A S Y S U S

Sesión 5.1 Función exponencial de base e Sesión 5.2 Función logaritmo natural Sesión 5.3 Derivación logarítmica Sesión 5.4 Funciones exponenciales y logarítmicas de base a Sesión 5.5 Funciones trigonométricas Sesión 5.6 Funciones trigonométricas inversas Sesión 5.7 Funciones hiperbólicas Sesión 5.8Funciones hiperbólicas inversas

58 59 61 63 64 66 68 69

57

58    •    C a p í t u l o 5

Funciones trascendentales y sus derivadas

S eSión 5.1 F unción

exponencial de baSe

e

Problemas resueltos Ejemplo 1. Encuentre la derivada de f ( x) = x ²e -2 x . Solución: f '( x) = x ²e -2 x (-2) + e -2 x (2 x) f '( x) = -2 x ²e -2 x + 2 xe -2 x



f '( x) = -2 xe -2 x ( x - 1)Ejemplo 2. Use derivación implícita para encontrar dy en y ³ + xe y = 3 x ² - 10 . dx

Solución: 3 y ² y '+ xe y y '+ e y (1) = 6 x 3 y ² y '+ xe y y ' = 6 x - e y y '(3 y ² + xe y ) = 6 x - e y y' = 6x - e y 3 y ² + xe y



Problemas propuestos
I. En los ejercicios del 1 al 5 derive y simplifique las funciones dadas. 1. f ( x) = e3 x ² 3. 2. f ( x) = e
x +1

f (x) = (e

4x

5

4. f( x) = 1 + e

2x

5. f ( x) =

ex ( x ² + 1)

II. En los ejercicios 6 y 7 encuentre y´ por derivación implícita. 6. e xy - x ³ + 3 y ² = 11 7. xe y - ye x = 2

Función logaritmo natural    •    59

Respuestas
1.

f '( x) = 6 xe
f x = e

3x 2

2.

f '( x) = f '( x) =
y' =

3.

4x

e x−
4

4.

e x+1 2 x +1 e x+1
2
x +1

5.

f '( x) =
y' =

e ( x ² - 2 x +1) ( x ² + 1)²
x

6.

3 x 2 - ye xy xe xy + 6 y

7.

ye x - e y xe y - e x
logaritmo natural

S eSión 5.2 F unción
Problemas resueltos

Ejemplo 1. Dada f ( x) = ln(3 x ² - 6 x + 8) , encuentre f '( x) . Solución: f '( x) = 1 6x - 6 (6 x - 6) = 3x ² - 6 x + 8 3x ² - 6 x + 8

1 Ejemplo 2. Encuentre la derivada de f ( x) = 3 x ln x - ln x aplicando propiedades de 2 los logaritmos.Solución:



1 f ( x) = 3 x ln x - ln x 2 Luego derivamos 1 f '( x) = 3 xDx (ln x) + ln xDx (3 x) - Dx (ln x) 2 11 1 f '( x) = 3 x   + (ln x)(3) -   2 x x 1 f '( x) = 3 + 3ln x 2x



60    •    C a p í t u l o 5

Funciones trascendentales y sus derivadas

Problemas propuestos Derive y simplifique las funciones dadas:
1. f ( x) = ln(2 - 3 x)5 2. f ( x) = ln(7 - 2 x 3 )1/2

3. f ( x) = ln(3 x 2 - 2 x + 1)

4. f ( x) = ln 4 x 2 + 7 x
3

5. f ( x) = x ln x

6. f ( x) = ln x 3 + (ln x)3

7. f ( x) =

1 1 + ln   ln x x x2 + 1 (9 x - 4) 2

8. f ( x) =ln  x

  

4 + x2 4 - x2

   

9. f ( x) = ln

10. f ( x) = ln

x 2 (2 x - 1)3 ( x + 5) 2

Respuestas
1. f ´(x)=

-15 2 - 3x

2. f  ´(x)=

-3 x 2 7 - 2 x3

3. f ´(x)=6x - 2 2 3x - 2 x + 1

4. f ´(x)=

8x+7 3(4 x 2 + 7 x )
3 + 3ln 2 x x 16 - 8 x 2 - x 4 x(4 + x 2 )(4 - x 2 ) 6 x 2 + 50x-10 x(2x-1)(x + 5)

5. f ´(x)= (1 + ln x)
2   7. f ´(x)= ( -1) 1 + ln x

6. f ´(x)=

  x  ln 2 x 

8. f ´(x)=

9. f ´(x)=

-9 x 2 - 4 x - 18 ( x 2 + 1)(9 x - 4)

10. f ´(x)=

Derivación logarítmica    •    61

S eSión 5.3 d erivación
Problemasresueltos

logarítmica

Ejemplo 1. Encuentre y’ por derivación logarítmica de la función
3 2 y = x x -1 . 2 ( x - 2) 2

Solución: Paso 1 ln y = ln x3 x 2 - 1 . ( x 2 - 2) 2

Paso 2

ln y = ln x3

x 2 - 1 – ln (x2 – 2)2

(propiedad A). (igual). (propiedad C a cada témino). (derivando ambos lados).

ln y = ln x3 + ln x 2 - 1 – ln (x2 – 2)2 ln y = 3 ln x + 1 ln (x2 – 1) – 2 ln (x2 – 2)2 y' 3 1 2x 2x = + -2 2 y x 2 ( x 2 - 1) ( x - 2) 3 x 4x  y' =  + 2 - 2 y  x x - 1 ( x - 2)  3 x 4 x  x3 x 2 - 1 y' =  + 2 - 2  2 2  x x - 1 ( x - 2)  ( x - 2) Ejemplo 2. Derive y = (x - 1) logarítmicamente.
3x

Paso 3

Paso 4

Solución: y = ( x - 1)3 x . Paso 1 Paso 2 Paso 3 ln y = ln (x-1)3x ln y = 3x ln (x – 1) y' 3x = + 3ln( x - 1) y x -1  3x  y' =  + 3ln( x - 1)  ( x...