CAPITULO 5 INVESTIGACION DE OPERACIONES II

CAPITULO 5.-

PROCESOS ESTOCASTICOS A TIEMPO CONTINUO TEORIA DE
COLAS

La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas
de espera particulares.
El objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de servicio
apropiada.
Un sistema de colas tiene dos componentes:
a) La cola
b) La instalación del servicio
Los clientes pueden ser:Personas, automóviles, máquinas que requieren reparación,
documentos, todo tipo de artículos.
Supuestos:

a) Si cuando el cliente llega no hay nadie en la cola, pasa a recibir servicio.

b) Si hay alguien recibiendo servicio pasa a la cola.
c) La cola no incluye a quien esta recibiendo el servicio.
d) Existen reglas de servicio: FIFO First in first out (primero en llegar, primero en ser servido)la mas utilizada.
5.1.- Introducción a los procesos de Poisson.- Un proceso de Poisson responde a la idea de
“arribos al azar” de personas u objetos hacia un lugar determinado. Se debe asociar un
proceso puntual n(t), para todo t ≥ 0, dicho proceso representa el numero de arribos en un
periodo o intervalo de tiempo [ 0,t ].
5.2.- Concepto y estructura base de un modelo de colas.5.2.1.- Una línea,un servidor.Disciplina de la cola

Fuente de entrada

Llegadas

Cola

Servidor

Sistema
Salidas

5.2.2. Una línea, múltiples servidores
Fuente de entrada

Llegadas

Servidor

Salidas

Cola
Disciplina de la cola

Servidor
Servidor

1

Salidas
Salidas

5.2.3. Varias líneas, múltiples servidores

Cola

Servidor
Disciplina de la cola

Fuente de entrada

Llegadas

Cola

Servidor

Cola

Servidor5.2.4.- Una línea, servidores secuenciales.Fuente de entrada

Salidas

Salidas

Salidas

Sistema

Llegadas

Cola
Servidor

Disciplina de la cola

Cola
Servidor

Servidor

5.2.5.- Costos de un sistema de colas.a) Costo de espera: Es el costo para el cliente al esperar, representa el costo de oportunidad
del tiempo perdido.
b) Costo de servicio: Es el costo de operación del servicio brindado.

5.2.6.-Llegadas.- El tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el sistema de
colas se llama tiempo entre llegadas, siempre es variable y el número esperado de llegadas
por unidad de tiempo se llama tasa media de llegadas (λ).
-

El tiempo esperado de llegadas es 1 / λ.

Ejemplo.- Si la tasa media de llegadas es λ = 20 clientes por hora entonces el tiempo
esperado entre llegadas es 1 / λ = 1 /20 = 0,05 horas o 3 minutos.
2

-

La distribución de probabilidad de los tiempos entre llegadas es una distribución
exponencial.

De igual manera, (ya que ambas son variables aleatorias es decir el tiempo entre llegadas y
el tiempo de servicio) aunque no con el mismo parámetro:
-

La distribución exponencial también describe los tiempos de servicios que se realizan
en los sistema.
-ut

P (tiempode servicio ≤ t ) = 1 – e
Donde: t : tiempo ( hrs., min, seg., etc.)
P(t)
α

0

Media

E (T) 1/ α

Tiempo

Por tanto las llegadas son aleatorias, la última llegada no influye en la probabilidad de
llegada de la siguiente.

La distribución de Poisson describe el patrón de llegadas a un sistema de colas, para tasas
medias de llegadas pequeñas es asimétrica y se más simétrica a medida que se aproximaa
la distribución binomial para tasas de llegas altas, su forma algebraica es:

λ x e -λ
p(x) = ------------- ; x = 0,1,2,3,………,n.
X!
Donde:
p(x) = Probabilidad de x llegadas por unidad de tiempo.
λ = tasa media de llegadas
e = 2,7182818

3

P

Llegadas por unidad de tiempo
El numero de clientes en la cola es el numero de clientes que esperan el servicio; el numero
de clientes en el sistema esel numero de clientes que esperan en la cola más el numero de
clientes que actualmente reciben el servicio.
La capacidad de la cola es el número máximo de clientes que pueden estar en la cola, la
cual generalmente es infinita pero puede ser finita.
-

-

Disciplina de la cola: Es el orden en que se seleccionan a los clientes para
comenzar el servicio.
FIFO: First in first out ó PEPS Primero en...