Capitulo 5 sistemas lineales y estables

Cap´tulo 5 ı Estabilidad
´ 5.1. Introduccion
La estabilidad de un sistema puede pensarse como una continuidad en su comporta˜ miento din´ mico. Si se presenta un cambio pequeno en las entradas o condiciones iniciales, a ˜ un sistema estable presentar´ modificaciones pequenas en su respuesta perturbada. Por a ´ ˜ otro lado, en un sistema inestable cualquier perturbacion, por pequena que sea,llevar´ esa tados y/o salidas a crecer sin l´mite o hasta que el sistema se queme, se desintegre o saı ture. Es evidente entonces que la estabilidad es un requerimiento b´ sico de los sistemas a ˜ din´ micos destinados a realizar operaciones o procesar senales, y es lo primero que debe a ˜ garantizarse en el diseno de un sistema de control.
Estable x0 x0
¡

xt xt
¡  

Inestable

Como larespuesta de los sistemas din´ micos lineales se descompone en la respuesta a a entrada con condiciones iniciales nulas, y la respuesta a condiciones iniciales con entrada nula, podemos hablar de dos “tipos” de estabilidad: Estabilidad externa, o entrada-salida, que se refiere a la estabilidad del sistema con condiciones iniciales nulas. La estabilidad externa describe el efecto de perturbaciones en lasentradas sobre el comportamiento din´ mico de la salida del sistema. a ´ Estabilidad interna, que se refiere a la estabilidad del sistema autonomo (sin entradas). La estabilidad interna describe el efecto de perturbaciones en las condiciones iniciales sobre comportamiento din´ mico de los estados del sistema. a Estudiaremos estos dos tipos de estabilidad por separado, para sistemas estacionariosprimero, y luego para sistemas inestacionarios.

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5. Estabilidad

Notas de CAUT2 - 71

5.2. Estabilidad Externa de Sistemas Estacionarios
5.2.1. ´ Representacion externa
t t

Sea un sistema lineal, causal y estacionario SISO descripto por la integral de convolu´ cion y(t) =
0

g(t − τ )u(τ )dτ =

0

g(τ )u(t − τ )dτ,

(5.1)

para el cual asumimos condicionesiniciales nulas (es decir, se encuentra inicialmente relajado). Vamos a estudiar la estabilidad externa del sistema (5.1) con respecto a la familia de ˜ ˜ senales de entrada acotadas. Una senal de entrada dada u(t) se dice acotada si existe una constante positiva Mu tal que

|u(t)| ≤ Mu

para todo t ≥ 0.

˜ Ejemplos de senales acotadas son u(t) = sen(ωt), u(t) = t2 e−2t , o u(t) = −2. Definicion 5.1(Estabilidad entrada-acotada/salida-acotada (BIBO)). 1 Un sistema es esta´ ble BIBO (entrada-acotada/salida-acotada) si toda entrada acotada produce una salida acotada. ´ Remarcamos que la estabilidad BIBO se refiere a una propiedad del sistema que solo considera los efectos de la entrada sobre la salida, es decir, el comportamiento externo del sistema, independientemente de lo que pase con losestados. El siguiente resultado establece un test para determinar si un sistema SISO es estable BIBO. Teorema 5.1 (Estabilidad BIBO de sistemas SISO). Un sistema SISO es estable BIBO si ´ y solo si su respuesta al impulso g(t) es absolutamente integrable en el intervalo [0, ∞), es decir, existe una constante M ≥ 0 tal que
∞
0

| g(τ )|dτ =≤ M < ∞.

Demostraci´ n. Supongamos que g(t) esabsolutamente integrable. Sea u(t) una entrada aro bitraria acotada, es decir, |u(t)| ≤ Mu para todo t ≥ 0. Entonces
t

| y(t)| = ≤

0 t 0

g(τ )u(t − τ )dτ

| g(τ )||u(t − τ )|dτ
∞
0

≤ Mu

| g(τ )|dτ ⇒ el sistema es BIBO.

≤ Mu M,

Nos queda probar que “estabilidad BIBO” ⇒ “g(t) es absolutamente integrable”. Pro´ bamos en cambio la implicacion equivalente “g(t) no es absolutamenteintegrable” ⇒ “no hay estabilidad BIBO”. Supongamos entonces que g(t) no es absolutamente integrable, es ´ decir que existe algun t1 tal que
t1 0
1

| g(τ )|dτ = ∞.

Bounded Input Bounded Output.

5. Estabilidad Consideremos la entrada acotada u(t1 − τ ) = 1 −1 si g(τ ) ≥ 0 si g(τ ) < 0.

Notas de CAUT2 - 72

La salida del sistema para esta entrada y t = t1 es
t1

y(t1 ) =

0 t1...