capitulo01

Triángulo de Pascal

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V. A. Uspenski

Capítulo 1
PROBLEMA DE LA VIII OLIMPÍADA
En la VIII Olimpíada matemática de Moscú (1945), a sus participantes, alumnos de los
grados 9 10, fue prepuesto el siguiente problema1:
Se tiene una red de caminos (Figura 1). Desde el punto A parten 21000 hombres. Una mitad
de ellos se encaminan en la dirección l, otra, en la m. Al llegar alprimer cruce cada grupo se
divide: una mitad sigue la dirección l, la otra, la m. Lo mismo ocurre en cada cruce.
¿Cuántos hombres llegarán a todos los cruces de la milésima serie?2

Figura 1
Anunciemos, ante todo, que todavía no conocemos si es resoluble el problema, es decir, si
pueden moverse los hombres como lo requiere la condición del problema. En efecto, si a un
cruce cualquiera, en que vaa dividirse por mitad la afluencia de gente, llega un número
impar de hombres, el movimiento se detendrá. Por consiguiente, para que el problema
tenga solución, es necesario y suficiente que a cada cruce de cualquiera de las primeras mil
series (filas), de 0 hasta 999, llegue un número par de hombres. De que esto es así, nos
cercioraremos resolviendo el problema.

1

Véase Yaglom A. M. y Yaglom I.M. Problemas no elementales en la exposición elemental. M. Gostejizdat, 1954,
pág. 10, “Números de los problemas propuestos en las olimpiadas matemáticas de Moscú”, problema 60b, en ruso).
2
Se tiene en cuenta que las filas de los cruces están numeradas, partiendo de cero, ya que en la última hay un
cruce (A), en la primera, dos en la segunda, tres, etc.

1

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Figura 2
Al principio introduciremos las designaciones para las cantidades de hombres que dejaron
atrás cada cruce de nuestra red de caminos. Numeremos los cruces de cada fila, de
izquierda a derecha, partiendo de cero; por lo tanto, los cruces de la n-ésima fila se
numerarán de cero hasta n. Denotaremos por Hkn el número de hombres quepasaron por el
k-ésimo cruce de la n-ésima fila. Puesto que no se sabe todavía si es resoluble el problema,
no podemos estar seguros de que existan todos los números Hkn, es decir, que exista cada
uno de los números H con todo n de 0 hasta 1000 y todo k de 0 hasta n. Es indudable que
algunos de ellos existen. De modo que, en virtud de las designaciones introducidas,
H00 = 21000

(1.1)

Veamos ahoracómo se vinculan entre sí los números Hkn (k = 0, 1, 2,..., n) y Hkn+1 (k = 0,
1, 2, ..., n+1) a condición de que existan todos. Más tarde veremos que si existen y son
pares todos los números Hkn, existen también todos los números Hkn+1. Consideremos las
filas n y (n + 1) de los cruces y los tramos de los caminos que los unen; pongamos frente a
cada cruce la designación del número respectivo dehombres (véase la figura 2). El número
de hombres que salieron del cruce 0 de la fila n (es decir, H0n) se dividirá en dos partes
iguales y una mitad llegará al cruce 0 de la fila (n + 1); por eso,
H0n+1 = H0n / 2

(1.2)

Otra mitad de H0n se aproximará al primer cruce de la fila (n + 1) y se reunirá allá con la
mitad de hombres que han abandonado el primer cruce de la fila n, o sea, con la mitadH1n.
De ahí
H1n+1 = (H0n + H1n)/2

2

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En general, el número de hombres que llegaron al cruce k de la fila (n + 1) era la suma de
mitad de hombres que partieron del cruce (k - 1) de la fila n (esta mitad era igual a Hk-1n /2)
con la de hombres que partieron del cruce k de la fila n (esta mitad era igual aHkn /2
Por 1 tanto,
Hkn+1 =(Hk-1n + Hkn)/2

(1.3)

con 1 ≤ k ≤ n
Por fin, el número de hombres que alcanzaron el cruce (n + 1) de la fila (n + 1) es
equivalente a la mitad de hombres que salieron del cruce n de la fila n:
Hn+1n+1 = Hnn /2 (1.4)
Las relaciones (1.1) - (1.4) permiten establecer que el problema admite realmente su
solución. En efecto, de las igualdades (1.2) - (1.4) se deduce que...