Capitulo3variablesaleatorias

Variables aleatorias y funciones de probabilidad

3.1. Variable aleatoria. Es una función que asigna un valor numérico a cada posible resultado de
un experimento aleatorio. Más formalmente:
Definición: Sea ε un experimento aleatorio y S su espacio muestra asociado con él. Una función
X que asigna a cada uno de los elementos s ∈ S, un número real X(s), se llama variable aleatoria.
Esto es, quedados un experimento aleatorio y un espacio, se pueden definir varias “funciones”
que asignen a cada posible resultado del experimento un número real. En muchos casos, el propio
espacio muestral está compuesto por números reales y la función que define la variable aleatoria
será la función constante X(s) = s.
Por ejemplo, consideremos un experimento aleatorio que consiste en arrojar 3 monedas yanotar
las caras superiores. El espacio muestra sería:
S = {(a, a, a), (a, a, s), (a, s, a), (s, a, a), (a, s, s), (s, a, s), (s, s, a), (s, s, s)}
Se pueden definir las variables aleatorias:
VA1. El número de “águilas” (a)
VA2. El número de “soles” (s)
Para la variable aleatoria VA1, se asignan los siguientes valores numéricos:
(a, a, a)

3

(a, a, s), (a, s, a), (s, a, a)

2

(a, s, s), (s, a, s),(s, s, a)

1

(s, s, s)

0

Para el problema planteado, la función de la variable aleatoria tiene como contradominio los
números reales y el ámbito (o recorrido) los números 0, 1, 2 y 3. Cualquier elemento del ámbito
tienen asociada una probabilidad, así: p(0) = 1/8; p(1) = 3/8; p(2) = 3/8 y p(3) = 1/8.
Si el número de elementos del recorrido es finito o infinito numerable (esto es, que se conozcacuál es el número anterior o posterior de cualquier número dado), entonces la variable aleatoria
definida es discreta, más formalmente:
Definición: Sea X una variable aleatoria. Si el número de valores posibles de X (esto es el
recorrido) es finito o infinito numerable, llamamos a X una variable aleatoria discreta. Esto es,
que se pueden anotar los valores de X como: x1, x2, x3, ..., xn, … En cadacaso finito, la lista
termina y en los infinitos numerables, la lista continúa indefinidamente.

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Variables aleatorias y funciones de probabilidad

Cada uno de los posibles valores de X tiene una probabilidad asociada p(xi) y la suma de todas
ellas es la unidad. La colección de parejas de valores xi, p(xi) recibe el nombre de distribución de
probabilidad de X.
Sea X una variable aleatoriadiscreta. Por tanto su recorrido (Rx) consta, a lo más, de un número
de valor es xj, x2, x3, ..., xn,... infinito numerable. Con cada resultado posible xi, asociamos un
número p(xi) = P(X = xi), llamado probabilidad de xi. Los números p(xi), i = 1, 2, …, deben
satisfacer las siguientes condiciones:
∑∞
1 𝑝(𝑥𝑖 ) = 1

0 ≤ 𝑃(𝑥𝑖 )≤ 1

La función p que antes se definió, se llama función de probabilidad (ofunción de probabilidad
puntual) de la variable aleatoria X.
Para el ejemplo de la moneda que se lanza tres veces, la distribución puede expresarse
gráficamente como se muestra a continuación:

Si los resultados posibles de un experimento son infinitos entonces las variables aleatorias
definidas se llaman continuas, más formalmente, se presenta la siguiente definición: Se dice que
X es una variablealeatoria continua, si existe una función f, llamada función de densidad de
probabilidad (fdp) de X, que satisface las siguientes condiciones:
𝑓(𝑥) ≥ 0

∀𝑥

∞

∑ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
𝑏

−∞

∀ (𝑎, 𝑏)⁄−∞ < 𝑎 < 𝑏 < ∞

𝑝(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎

Sea X una variable aleatoria, discreta o continua. Definimos que F es la función de distribución
acumulativa (fda) de la variable aleatoria X como F(x) = p(X  x).40

Variables aleatorias y funciones de probabilidad

Si X es una variable aleatoria discreta:
𝐹(𝑥) = ∑ 𝑝(𝑥𝑗 )
𝑗

Si X es una variable aleatoria continua con fdp f:
𝑥

𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
−∞

Además, si F es la fda de una variable aleatoria continua con fdp f, para toda x en la cual F es
diferenciable se cumple:
𝑓(𝑥) =

𝑑
𝐹(𝑥)
𝑑𝑥

Las distribuciones de las variables aleatorias (discretas o continuas)...