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APLICACIONES DE LA DERIVADA
ESCUELA:

CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

PONENTE:

Ing. Diana A. Torres G.

BIMESTRE:

II Bimestre

CICLO:

OCTUBRE 2009 – FEBRERO 2010

EXTREMOS DE UN INTERVALO
 Definición de Extremos.- Sea f definida
sobre un intervalo f que contiene a c:
 f(c) es el máximo de f en I si f(c) ≤ f(x)
para toda x en I
 f(c) es el mínimo de f en I si f(c) ≥ f(x)
para toda x en I
Losmínimos y máximos se conocen
como valores extremos o extremos o
mínimo absoluto o máximo absoluto.

EXTREMOS DE UN INTERVALO
 Teorema del Valor Extremo: si f es
continua en el intervalo cerrado [a,b],
entonces tiene un mínimo y un máximo en
ese intervalo

EXTREMOS DE UN INTERVALO
Definición de extremos relativos: si hay
un intervalo abierto que contiene a c en
el cual f(c) es:
1. Un máximo,entonces f(c) recibe el
nombre de máximo relativo de f, o se
podría afirmar que f tiene un máximo
relativo en (c, f(c)).
2. Un mínimo, entonces f(c) recibe el
nombre de mínimo relativo de f, o se
podría afirmar que f tiene un mínimo
relativo en (c, f(c)).

EJEMPLO
Encontrar el valor de La Derivada en
los Extremos Relativos:

2

9( x  3)
f ( x) 
3
x

Definición de un número o punto crítico
Sea fdefinida en c. si f’(c)=0 o si f no es
derivable en c, entonces c es un punto
crítico de f
Teorema:
Los
extremos
relativos
ocurren solo en números o puntos
críticos:
Si f tiene un mínimo relativo o un
máximo relativo en x = c, entonces c es
un punto crítico de f.

Determinación de extremos en
un intervalo cerrado
1. Se encuentran los punto críticos de f en
(a,b)
2. Se evalúa f en cada punto críticoen
(a,b)
3. Se evalúa en f en cada punto extremo
de [a,b]
4. El más pequeño de estos valores es el
mínimo y el más grande es el máximo

EJEMPLO
Determinación de los extremos en un
intervalo cerrado:
Determinar los Extremos de f(x) = 3x4 – 4x3
en el Intervalo [-1,2]

9

El Teorema de Rolle
Proporciona las condiciones que garantizan
la existencia de un valor extremo en el
interior de un intervalocerrado.
Sea f continua en el Intervalo cerrado [a,b] y
derivable en el intervalo abierto (a,b).Si
f(a) = f(b)
entonces existe al menos un número c en (a,b)
tal que f’(c)=0

EJEMPLO
Ilustración del Teorema de Rolle
Encontrar las dos Intersecciones en x de
f(x) = x2 – 3x + 2
y demostrar que f’(x) = 0 en algún punto
entre las dos intersecciones en x

f’(3/2)=0

Tangente Horizontal
12

El Teoremadel valor Medio
Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b]
y derivable en el Intervalo Abierto (a,b)
entonces existe un número c en (a,b) tal
que

f (b)  f (a)
f ' (c ) 
b a

EJEMPLO
Determinación de una Recta Tangente
Dada f(x) = 5 – (4/x), determinar todos los
valores de c en el intervalo abierto (1,4) tales
que:

f (4)  f (1)
f ' (c ) 
4 1

Funciones Crecientes y DecrecientesDefinición de Funciones Crecientes y
Decrecientes
Una función es creciente sobre un intervalo si
para cualquiera de dos números x1 y x2 en el
intervalo, x1 < x2 implica f(x1) < f(x2)
Una función es decreciente sobre un intervalo
si para cualquiera de dos números x1 y x2 en el
intervalo, x1 > x2 implica f(x1) > f(x2)

Funciones Crecientes y Decrecientes
Criterio para las Funciones Crecientes yDecrecientes
Sea f una función que es continua ene l intervalo
cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto
(a,b)
1. Si f’(x) > 0 para todo x en (a,b), entonces f es
creciente en [a,b]
2. Si f’(x) < 0 para todo x en (a,b), entonces f es
decreciente en [a,b]
3. Si f’(x) = 0 para todo x en (a,b), entonces f es
constante en [a,b]

EJEMPLO
Intervalos sobre los
creciente y decreciente

cuales

f

esDeterminar los Intervalos abiertos sobre los
cuales f(x) es creciente o decreciente:

3 2
f ( x)  x  x
2
3

Cr
ec
ie
nt
e

Dec
rec
ien
te

18

Cre
cie
n

te

Criterio de la Primera Derivada
1.

Si f’(x) cambia de negativa a positiva en c,
entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).

2. Si f’(x) cambia de positiva a negativa en c,
entonces f tiene un máximo relativo en
(c,f(c)).
3. Si f’(x)...