Caracteristicas de la sociedad guatemalteca

´ ´ Miscelanea Matematica 44 (2007) 79–82

SMM

Sobre la infinidad de los n´meros primos: u un enfoque topol´gico o
Marianito Rocha Rodrigo
Instituto Tecnol´gico Aut´nomo de M´xico o o e R´ Hondo # 1 ıo 01080 M´xico, D.F. e M´xico e mrocha@itam.mx

Un resultado bien conocido en la teor´ elemental de n´meros, usualıa u mente atribuido a Euclides, dice que hay un n´mero infinito de primos. uExisten varias demostraciones de este resultado [1, 3] pero en esta nota mostraremos en detalle el enfoque ingenioso de Furstenberg [2], que utiliza conocimientos b´sicos de topolog´ por ejemplo, espacios topol´gia ıa, o cos, conjuntos abiertos y conjuntos cerrados. Sea X un conjunto no vac´ Una colecci´n T de subconjuntos de ıo. o X es una topolog´a en X si y s´lo si T satisface los siguientesaxiomas: ı o 1. El conjunto vac´ ∅ pertenece a T . ıo 2. La uni´n de cualquier n´mero de conjuntos en T pertenece a T . o u 3. La intersecci´n de un n´mero finito de conjuntos en T pertenece o u aT. Los elementos de T se les llaman conjuntos abiertos, y el par (X, T ) se dice que es un espacio topol´gico. o Ejemplo 1. Cada una de las colecciones T1 = {X, ∅, {a}} y T1 = {X, ∅, {b}} es una topolog´sobre X = {a, b, c}. Sin embargo, T3 = {X, ∅, {a}, {b}} ıa no es porque {a} ∪ {b} = {a, b} ∈ T3 . / 79

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Sea (X, T ) un espacio topol´gico. Un subconjunto de X se dice o que es cerrado si y s´lo si su complemento pertenece a T , es decir, su o complemento es un conjunto abierto. Ejemplo 2. En el espacio topol´gico (X, T1 ) del ejemplo anterior, el o subconjunto E1 ={b, c} es cerrado mientras el subconjunto E2 = {b} no lo es. Puede demostrarse que la intersecci´n de cualquier n´mero de cono u juntos cerrados es cerrado, y que la uni´n de un n´mero finito de cono u juntos cerrados es cerrado. Para probar que el conjunto P de n´meros primos es infinito, neceu sitamos hallar un espacio topol´gico apropiado. Tomamos X = Z, el o conjunto de los enteros. Paracualesquiera dos enteros a y b, con b positivo, sea Na,b ≡ {a + nb : n ∈ Z} = {a, a ± b, a ± 2b, . . .}. Definamos un conjunto E ⊆ Z como abierto si es vac´ o para cada ıo, a ∈ E existe alg´n entero positivo b tal que Na,b ⊆ E. Denotemos por u T la colecci´n de todo conjunto abierto como se acaba de definir. o Lema 3. El par (Z, T ) es un espacio topol´gico. o Demostraci´n. Primero notemos que ∅ ∈ T pordefinici´n. Sea {Ei : o o i ∈ I} una colecci´n de conjuntos abiertos en T , y sea a ∈ i∈I Ei . o Entonces a ∈ Ei0 para alg´n i0 ∈ I. Puesto que Ei0 es abierto, existe u un entero positivo b tal que Na,b ⊆ Ei0 ⊆ i∈I Ei . Por lo tanto, i∈I Ei tambi´n es abierto. e Supongamos ahora que E1 , E2 ∈ T y que a ∈ (E1 ∩ E2 ). Entonces existen enteros positivos b1 y b2 tales que Na,b1 ⊆ E1 y Na,b2 ⊆ E2 ,respectivamente. Queremos demostrar que Na,b1 b2 ⊆ (E1 ∩ E2 ). Si x ∈ Na,b1 b2 , entonces para alg´n n ∈ Z tenemos que u x = a + n(b1 b2 ) = a + (nb2 )b1 = a + (nb1 )b2 y por lo tanto x ∈ Na,b1 y x ∈ Na,b2 . Se sigue que x ∈ E1 y x ∈ E2 , o x ∈ (E1 ∩ E2 ). De ah´ E1 ∩ E2 tambi´n pertenece a T . ı, e Lema 4. El conjunto Na,b es ambos abierto y cerrado. Demostraci´n. El conjunto Na,b no es vac´ puestoque a ∈ Na,b . Sea o ıo x ∈ Na,b . Se sigue que x = a+nb para alg´n n ∈ Z. Demostraremos que u

´ Infinidad de los numeros primos

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Nx,b ⊆ Na,b . Para cualquier y ∈ Nx,b tenemos que (para alg´n entero u m) y = x + mb = (a + nb) + mb = a + (m + n)b y esto implica que y ∈ Na,b . Entonces, Na,b es un conjunto abierto. No es dif´ ver que ıcil
b−1

Na,b = Z \
i=1

Na+i,b .

Cada Na+i,bes abierto como ya se ha demostrado, y por lo tanto la uni´n o de estos conjuntos es abierto. Entonces, el conjunto del lado izquierdo es cerrado. Lema 5. Cualquier conjunto abierto no vac´ es infinito. ıo Demostraci´n. La conclusi´n es una consecuencia directa de la definio o ci´n de un conjunto abierto E ya que Na,b es infinito y Na,b ⊆ E. o Lema 6. Se cumple que Z \ {−1, 1} =
p∈P

N0,p ....